BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LONG PHI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LONG PHI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. LÊ QUANG THUẬN Bình Định - 2021 Mục lục Lời cam đoan Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Bộ trội và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tổng đối xứng các hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Bất đẳng thức Muirhead và một số ứng dụng 10 2.1 Bất đẳng thức Muirhead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Một số ứng dụng của bất đẳng thức Muirhead . . . . . . . 14 2.2.1 Chứng minh một số bất đẳng thức đại số . . . . . . 14 2.2.2 Chứng minh một số bất đẳng thức hình học . . . . 27 3 Một số dạng mở rộng của bất đẳng thức Muirhead và ứng dụng 31 3.1 Bất đẳng thức Muirhead dạng tổng quát . . . . . . . . . . 31 i ii 3.2 Một mở rộng của bất đẳng thức Muirhead liên quan đến trung bình lũy thừa trộn lẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Bất đẳng thức Muirhead mở rộng theo cách phân hoạch . 42 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Quyết định giao đề tài luận văn (bản sao) LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực không trùng lặp với đề tài khác. Đề tài “Một số mở rộng của bất đẳng thức Muirhead và ứng dụng” là kết quả sưu tầm, tìm hiểu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Quang Thuận. Tôi cũng xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày trong luận văn có tài liệu tham khảo được trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực và chính xác. Mở đầu Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó, hấp dẫn và thu hút sự quan tâm của đông đảo người giảng dạy toán bậc phổ thông đến đại học và các nhà nghiên cứu toán. Hiện nay, lý thuyết về các bất đẳng thức là một lĩnh vực toán học đồ sộ, phát triển rất rộng và rất sâu. Lý thuyết này đã và đang là công cụ quan trọng để phát triển nhiều lĩnh vực toán học. Trong toán phổ thông, chủ đề bất đẳng thức được gặp thường xuyên và chúng hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư duy học sinh. Trong những năm gần đây, nhiều nghiên cứu đã tập trung mở rộng bất đẳng thức Muirhead và ứng dụng trong việc chứng minh các bất đẳng thức mới. Tìm hiểu các kết quả này là bổ ích cho công việc giảng dạy và nghiên cứu Toán học sơ cấp ở bậc Trung học phổ thông. Với mong muốn tìm hiểu các bất đẳng thức Muirhead, một số dạng mở rộng và ứng dụng, tôi đã chọn đề tài “Một số mở rộng của bất đẳng thức Muirhead và ứng dụng” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình. Phương pháp nghiên cứu được sử dụng ở đây là sưu tầm, đọc tài liệu và làm rõ những công trình đã được công bố trên thế giới và trong nước. Tham khảo các dạng toán trong các kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến bất đẳng thức Muirhead. Từ đó, tạo ra được một đề tài phù hợp cho công 1 2 tác giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán Phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học trong trường Phổ thông, đem lại niềm đam mê, sáng tạo trong việc dạy toán và học toán. Nội dung chính của luận văn gồm ba chương với nội dung của từng chương được trình bày như sau: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề về quan hệ trội giữa các bộ số thực không âm; trình bày khái niệm và một số tính chất ban đầu của tổng đối xứng các hoán vị và tổng các hoán vị vòng quanh. Chương 2. Bất đẳng thức Muirhead và một số ứng dụng. Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Muirhead cho các bộ hai số và ba số thực không âm. Một số ví dụ áp dụng các bất đẳng thức này trong toán sơ cấp đã được chọn lọc và trình bày. Chương 3. Một số dạng mở rộng của bất đẳng thức Muirdhead và ứng dụng. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày bất đẳng thức Muir- head dạng tổng quát cho bộ n số và chứng minh nó dựa trên cách tiếp cận của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong [13]. Hai mở rộng khác của bất đẳng thức Muirhead dựa trên cách nhìn của mở rộng trung bình và mở rộng phép phân hoạch bộ biến cũng được đề cập. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy TS. Lê Quang Thuận. Nhân dịp này, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập cũng như làm Luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại 3 học, Khoa Toán và Thống kê cùng với quý thầy cô đã dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp K22 (06/2019 – 06/2021), đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập và làm Luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên trong Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để Luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Bịnh Định, tháng 7 năm 2021 Học viên Nguyễn Long Phi Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số khái niệm về bộ trội và một số tính chất cơ bản để chuẩn bị cho các chương sau. 1.1 Bộ trội và một số tính chất Cho một bộ n số thực không âm α “ pα1 , α2 , . . . , αn q, tức là αi ě 0, i “ 1, 2, . . . , n. Ta có thể sắp xếp trật tự các thành phần trong α theo thứ tự giám dần α1Ó ě α2Ó ě α3Ó ě ¨ ¨ ¨ ě αnÓ . Ta ký hiệu αÓ là véc tơ có được từ α bằng cách sắp các thành phần theo thứ tự giảm dần như trên, tức là αÓ “ pα1Ó , α2Ó , . . . , αnÓ q. Trong tập hợp tất cả các bộ n số thực không âm, ta có thể sắp thứ tự (không toàn phần) bằng quan hệ trội ă hoặc ą định nghĩa sau. Định nghĩa 1.1 ([13]). Với hai bộ n số thực không âm α “ pα1 , α2 , . . . , αn q và β “ pβ1 , β2 , . . . , βn q, ta nói bộ α trội hơn bộ β, kí hiệu α ą β, hay bộ β được trội bởi bộ α, ký hiệu β ă α nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 4 5 k k αiÓ ě βiÓ , @k “ 1, 2, . . . , n ´ 1; ř ř (a) i“1 i “1 (b) α1Ó ` α2Ó ` ¨ ¨ ¨ ` αnÓ “ β1Ó ` β2Ó ` ¨ ¨ ¨ ` βnÓ . Ví dụ 1.1. • p1, 1, 1, 1q ă p2, 1, 1, 0q ă p3, 1, 0, 0q ă p4, 0, 0, 0q. • p1, 1, 1, 1q ă p0, 1, 1, 2q ă p3, 1, 0, 0q ă p0, 0, 4, 0q. Ví dụ 1.2. Với mọi bộ n số thực không âm α “ pα1 , α2 , . . . , αn q, ta có pᾱ, ᾱ, . . . , ᾱq ă pα1 , α2 , . . . , αn q ă pα1 ` α2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn , 0, . . . , 0q 1 trong đó ᾱ “ pα1 ` α2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn q. n Từ định nghĩa về quan hệ trội ă, ta thấy rằng quan hệ này có tính chất bắc cầu α ă β, β ă γ ùñ α ă γ. Định nghĩa 1.2 (Ma trận ngẫu nhiên kép). Ma trận ngẫu nhiên kép (còn được gọi là ma trận bistochastic), là một ma trận vuông A “ paij q không âm số thực, mỗi hàng và cột có tổng bằng 1, ÿ ÿ aij “ aij “ 1. i j Với một bộ n số thực không âm β “ pβ1 , β2 , . . . , βn q, ta ký hiệu Hpβ q là bao lồi của tập các điểm pβσp1q , βσp2q , . . . , βσpnq q với σ chạy khắp S pnq, trong đó S pnq là tập hợp tất cả các hoán vị (song ánh) σ : t1, 2, . . . , nu Ñ t1, 2, . . . , nu. Hpβ q “ convtpβσp1q , βσp2q , . . . , βσpnq q | σ P S pnqu. Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để bộ α được làm trội bởi bộ β. 6 Định lý 1.1 ([13]). Với hai bộ n số thực không âm α “ pα1 , α2 , . . . , αn q và β “ pβ1 , β2 , . . . , βn q, các khẳng định sau đây là tương đương: p1q α P Hpβ q; p2q α “ Dβ, trong đó D là một ma trận ngẫu nhiên kép; p3q α ă β. Định lý 1.2 ([6]). Nếu α ă β và α ‰ β thi α có thể nhận được từ β bằng cách áp dụng một số hữu hạn lần phép biến đổi L. Tức là tồn tại một số nguyên dương m sao cho α “ Lm pβ q. Chứng minh. Gọi m là số các chỉ số ν P t1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu sao cho βν ´ αν ‰ 0, hiển nhiên m là một số nguyên dương. Ta sẽ chứng minh ta có thể áp dụng phép biến đổi L m lần để nhận được α và β. Thật vậy từ điều kiện α1 ` α2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn “ β1 ` β2 ` ¨ ¨ ¨ ` βn ta suy ra trong m chỉ số ν làm cho βν ´ αν ă 0 nhưng chỉ số ν đầu tiên trong chúng sẽ làm cho βν ´ αν ą 0. Ta chọn k, l như sau l là chỉ số nhỏ nhất làm cho βl ´ αl ă 0 và k ă l là chỉ số lớn nhất làm cho βk ´ βl ą 0. Hiển nhiên, βk ą αk ě αl ą βl . Đặt βk “ ρ ` τ ; βl “ ρ ´ τ và σ “ maxt|αk ´ ρ|, |αl ´ ρ|u. Khi đó một trong hai đẳng thức sau đúng αl ´ ρ “ ´σ; αk ´ ρ “ σ, 7 vì αk ě αl . Hơn nữa, ta cũng có σ ă τ vì αk ă βk và αl ą βl . Đặt ck “ ρ ` σ, cl “ ρ ´ σ, cν “ βν pν ‰ k, ν ‰ lq. Khi đó, hoặc ck “ αk hoặc αl “ cl . Hiển nhiên c “ Lpβ q và số chỉ số ν P t1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu sao cho cν ´ αν ‰ 0 bằng m ´ 1. Đặt c “ pc1 , c2 , ¨ ¨ ¨ , cn q, ta cũng dễ dàng kiểm tra dãy c là dãy giảm và có quan hệ ą với dãy α, tức là α ą c. Hơn nữa, do σ ă τ nên c ą β. Ta lặp lại quá trình trên khi thay thế dãy β bởi dãy c và thực hiện m lần như thế ta sẽ nhận được dãy α. 1.2 Tổng đối xứng các hoán vị Định nghĩa 1.3. Cho một bộ n số thực không âm α “ pα1 , α2 , . . . , αn q và một bộ n số dương x “ px1 , x2 , . . . , xn q. Ta định nghĩa xα1 1 xα2 2 ¨ ¨ ¨ xαnn là đại lượng ř (i) Tổng hoán vị vòng quanh cyc ÿ xα1 1 xα2 2 ¨ ¨ ¨ xαnn “ xα1 1 xα2 2 ¨ ¨ ¨ xαnn `xα2 1 xα3 2 ¨ ¨ ¨ xα1 n `¨ ¨ ¨`xαn1 xα1 2 ¨ ¨ ¨ xαn´ n 1. cyc xα1 1 xα2 2 ¨ ¨ ¨ xαnn hoặc T px; αq là ř (ii) Tổng đối xứng các hoán vị, ký hiệu sym đại lượng ÿ ÿ T px; αq “ xα1 1 xα2 2 ¨ ¨ ¨ xαnn “ xασp11q xασp22q ¨ ¨ ¨ xασpnnq sym σ PS pnq 8 trong đó S pnq là tập hợp tất cả các hoán vị (song ánh) σ : t1, 2, . . . , nu Ñ t1, 2, . . . , nu. Ví dụ 1.3. a) Ta có ÿ ÿ 2 3 2 3 2 3 2 3 ab c “ ab c ` bc a ` ca b , abc “ 6abc. cyc sym b) Với α “ p1, 3, 2q và x “ px1 , x2 , x3 q, ta có T px; αq “ x1 x32 x23 ` x1 x23 x32 ` x2 x31 x23 ` x2 x33 x21 ` x3 x31 x22 ` x3 x32 x21 . Định lý 1.3. Cho bộ số thực không âm α “ pα1 , α2 , . . . , αn q và một bộ các số thực dương x “ px1 , x2 , . . . , xn q. Nếu β “ pασp1q , ασp2q , . . . , ασpnq q với σ P S pnq, thì ta luôn có T px; αq “ T px; β q. Trong trường hợp riêng, T px; αq “ T px; αÓ q. ř Định nghĩa 1.4. Giả sử xi ą 0, 1 ď i ď n. Kí hiệu !F px1 , x2 , ¨ ¨ ¨ , xn q là tổng của n! biểu thức thu được từ F px1 , x2 , . . . , xn q bằng tất cả các hoán vị của xi . Ta chỉ xét trường hợp đặc biệt F px1 , x2 , ¨ ¨ ¨ , xn q “ xα1 1 ¨ xα2 2 ¨ ¨ ¨ xαnn với xi ą 0, αi ě 0. Khi đó trung bình đối xứng của xα1 1 xα2 2 ¨ ¨ ¨ xαnn là đại lượng 1 1 ÿ α1 α2 rx; αs “ T px; αq “ !x1 ¨ x2 ¨ ¨ ¨ xαnn . n! n! Ta có thể sử dụng ký hiệu ngắn gọn rαs thay cho kí hiệu rx; αs, T pαq thay cho T px; αq khi phần tử x đã cho xác định rõ. Ví dụ 1.4. Với α “ p1, 3, 2q và x “ px1 , x2 , x3 q, ta có 1 rx; αs “ px1 x32 x23 ` x1 x33 x22 ` x2 x31 x23 ` x2 x33 x21 ` x3 x31 x22 ` x3 x32 x21 q. 6 9 pn ´ 1q! Nhận xét 1.1. 1) r1, 0, ¨ ¨ ¨ , 0s “ px1 ` x2 ` x3 ` ¨ ¨ ¨ ` xn q “ n n! 1ÿ xi là trung bình cộng của các xi . n i“1 „  1 1 1 n! ´ n1 n1 1 ¯ ? 2) , ,¨¨¨ , “ x1 x2 ¨ ¨ ¨ xn “ n x1 ¨ x2 ¨ ¨ ¨ xn là trung bình n n n n n! nhân của xi . Mệnh đề 1.1 ([4]). 1. Nếu x1 x2 ¨ ¨ ¨ xn “ 1 thì rα1 , α2 , ¨ ¨ ¨ , αn s “ rpα1 ´ rq, pα2 ´ rq, ¨ ¨ ¨ , pαn ´ rqs đúng với mọi r ą 0 sao cho các αi ´ r ě 0. 2. Nếu x1 x2 ¨ ¨ ¨ xn ě 1 thì rα1 , α2 , ¨ ¨ ¨ , αn s ě rpα1 ´ rq, pα2 ´ rq, ¨ ¨ ¨ , pαn ´ rqs đúng với mọi r ą 0 sao cho các αi ´ r ě 0. 3. Với hai bộ số thực không âm α, β, ta có „  rαs ` rβ s α`β ě . 2 2 1.3 Hàm lồi Định nghĩa 1.5 (Hàm lồi). Hàm số f được gọi là hàm lồi trên đoạn rα, β s Ă R nếu với mọi x, y P rα, β s và với mọi a, b ě 0 thảo a ` b “ 1 thì f pax ` by q ě af pxq ` bf py q. Chương 2 Bất đẳng thức Muirhead và một số ứng dụng 2.1 Bất đẳng thức Muirhead Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày nội dung của bất đẳng thức Muirhead cho các bộ hai số và bộ ba số thực dương. Trước hết, ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.1. ([5]) Cho các số thực không âm α1 , α2 , β1 , β2 thỏa mãn α1 ` α2 “ β1 ` β2 và maxtα1 , α2 u ě maxtβ1 , β2 u. Khi đó, với hai số thực dương x, y bất kỳ, ta có xα1 y α2 ` xα2 y α1 ě xβ1 y β2 ` xβ2 y β1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α1 “ β1 , α2 “ β2 hoặc x “ y. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng α1 ě α2 , α1 ě 10 11 β1 , β1 ě β2 . Do α1 ` α2 “ β1 ` β2 , nên ta có xα1 y α2 ` xα2 y α1 ´ xβ1 y β2 ´ xβ2 y β1 “xα2 y α2 pxα1 ´α2 ` y α1 ´α2 ´ xβ1 ´α2 y β2 ´α2 ´ xβ2 ´α2 y β1 ´α2 q “xα2 y α2 pxβ1 ´α2 ` y β1 ´α2 qpxβ2 ´α2 ´ y β2 ´α2 q ě 0. Vậy bổ đề được chứng minh. Nội dung của bất đẳng thức Muirhead cho bộ hai số là định lý sau đây: Định lý 2.1 ([2]). Cho các số thực dương α1 , α2 , β1 , β2 thỏa mãn điều kiện pα1 , α2 q ą pβ1 , β2 q và $ ’ ’ ’ ’α1 ě α2 , β1 ě β2 ’ & ’α1 ě β1 , ’ ’ ’ %α1 ` α2 “ β1 ` β2 . ’ Khi đó, với mọi số thực dương x, y ta có ÿ ÿ xα1 y α2 ` y α1 xα2 “ xα1 y α2 ě xβ1 y β2 “ xβ1 y β2 ` y β1 xβ2 . (2.1) sym sym Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α1 “ β1 và α2 “ β2 hoặc x “ y. Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.1. Nội dung của bất đẳng thức Muirhead cho bộ ba số là định lý sau đây: Định lý 2.2 ([5]). Cho hai bộ ba số thực dương pα1 , α2 , α3 q và pβ1 , β2 , β3 q 12 thỏa mãn điều kiện pα1 , α2 , α3 q ą pβ1 , β2 , β3 q và $ ’ ’ ’ ’ α1 ě α2 ě α3 , β1 ě β2 ě β3 , ’ & ’ α1 ě β1 , α1 ` α2 ě β1 ` β2 , ’ ’ ’ %α1 ` α2 ` α3 “ β1 ` β2 ` β3 . ’ Cho x, y, z là các số thực dương. Khi đó, ta có ÿ ÿ α1 α2 α3 x y z ě x β1 y β2 z β3 . (2.2) sym sym Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αi “ βi , i “ 1, 2, 3 hoặc x “ y “ z. Chứng minh. Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: β1 ě α2 . Khi đó, ta suy ra α1 ě α1 ` α2 ´ β1 . Do α1 ě β1 , ta có α1 ě maxtα1 ` α2 ´ β1 , β1 u. Suy ra maxtα1 , α2 u “ α1 ě maxtα1 ` α2 ´ β1 , β1 u. Hơn nữa, từ giả thiết ta dễ thấy rằng α1 ` α2 ´ β1 ě β1 ` α3 ´ β1 “ α3 và α1 ` α2 ´ β1 ě β2 ě β3 . Do đó, maxtα1 ` α2 ´ β1 , α3 u ě maxtβ2 , β3 u. Áp dụng Bổ đề 2.1 hai lần, ta có ÿ ÿ α1 α2 α3 x y z “ z α3 pxα1 y α2 ` xα2 y α1 q sym cyc ÿ ` ˘ ě z α3 xα1 `α2 ´β1 y β1 ` xβ1 y α1 `α2 ´β1 cyc ÿ ` ˘ “ xβ1 y α1 `α2 ´β1 z α3 ` y α3 z α1 `α2 ´β1 cyc ÿ ` ˘ ě x β1 y β2 z β3 ` y β3 z β2 cyc ÿ “ xβ1 y β2 z β3 . sym 13 Trường hợp 2. β1 ă α2 . Ta có 3β1 ě β1 ` β2 ` β3 “ α1 ` α2 ` α3 ě β1 ` α2 ` α3 . Hơn nữa, vì β1 ě α1 ` α2 ´ β1 và α1 ě α2 ě β1 ě α2 ` α3 ´ β1 , nên maxtα2 , α3 u ě maxtβ1 , α2 ` α3 ´ β1 u và maxtα1 , α2 ` α3 ´ β1 u ě maxtβ2 , β3 u. Áp dụng Bổ đề 2.1 hai lần ta có ÿ ÿ xα1 y α2 z α3 “ xα1 py α2 z α3 ` y α3 z α2 q sym cyc ÿ ` ˘ ě xα1 y β1 z α2 `α3 ´β1 ` y α2 `α3 ´β1 z β1 cyc ÿ ` ˘ “ y β1 xα1 z α2 `α3 ´β1 ` xα2 `α3 ´β1 z α1 cyc ÿ ` ˘ ě y β1 x β2 z β3 ` x β3 z β2 cyc ÿ “ xβ1 y β2 z β3 . sym Dễ dàng thấy rằng nếu α1 “ β1 , α2 “ β2 , α3 “ β3 hoặc x “ y “ z thì đẳng thức xảy ra. Nhận xét 2.1. Trong thực hành, bất đẳng thức Muirhead thường được sử dụng cho trường hợp ba biến bởi các lý do sau đây: • Đối với bất đẳng thức hai biến số, việc áp dụng bất đẳng thức AM-GM có thể giải quyết dễ dàng và đơn giản hơn so với dùng bất đẳng thức Muirhead. • Đối với bất đẳng thức từ bốn biến trở lên, việc đưa nó về dạng đa thức đối xứng là một điều tương đối khó khăn, phức tạp. 14 2.2 Một số ứng dụng của bất đẳng thức Muirhead Để sử dụng bất đẳng thức Muirhead chứng minh các bất đẳng thức đại số, người ta có thể thực hiện như sau: Bước 1. Phân tích • Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng tổng các đa thức đối xứng ở cả hai vế của bất đẳng thức; • Biểu diễn các đa thức đối xứng theo ký hiệu quy ước trong lý thuyết nói trên. Bước 2. Đánh giá • Làm mất dần các đa thức đối xứng có giá trị lớn ở vế có giá trị nhỏ hơn, thay vào đó là các đa thức nhỏ nhất có thể. • Phép đánh giá được thực hiện nhờ các nguyên tắc sau: + Sử dụng đánh giá các bất đẳng thức có sẵn; + Tìm tòi, dự đoán các bất đẳng thức nhỏ hơn cần chứng minh; + Sử dụng các cách biến đổi để tạo ra cách đánh giá mới. 2.2.1 Chứng minh một số bất đẳng thức đại số Ví dụ 2.1 ([5]). Cho ba số thực dương a, b và c. Chứng minh rằng pa ` bqpb ` cqpc ` aq ě 8abc. Chứng minh. Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức tương đương a2 b ` a2 c ` b2 c ` b2 a ` c2 a ` c2 b ě 6abc. 15 Vì p2, 1, 0q ą p1, 1, 1q nên theo bất đẳng thức Muirhead, ta có rp2, 1, 0qs ě rp1, 1, 1qs. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a “ b “ c. Trong ví dụ sau đây, chúng ta sử dụng một kỹ thuật hữu ích ở Mệnh đề 1.1. Khi x1 x2 ¨ ¨ ¨ xn “ 1, rpx1 , . . . , xn q; pα1 , . . . , αn qs “ rpx1 , . . . , xn q; pα1 ´ r, . . . , αn ´ rqs, với r P R. Ví dụ 2.2 ([5]). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc “ 1. Chứng minh rằng 1 1 1 3 ` ` ě . a3 pb ` cq b3 pc ` aq c3 pa ` bq 2 Chứng minh. Quy đồng, bỏ mẫu ta được bất đẳng thức tương đương 2pa4 b4 ` b4 c4 ` c4 a4 q ` 2pa4 b3 c ` a4 c3 b ` b4 a3 c ` b4 c3 a ` c4 a3 b ` c4 b3 aq ` 2pa3 b3 c2 ` b3 c3 a2 ` c3 a3 b2 q ě3pa5 b4 c3 ` a5 c4 b3 “ b5 a4 c3 ` b5 c4 a3 ` c5 a4 b3 ` c5 b4 a63q ` 6a4 b4 c4 . Sử dụng kí hiệu rαs, ta được bất đẳng thức tương đương rp4, 4, 0qs ` 2rp4, 3, 1qs ` rp3, 3, 2qs ě 3rp5, 4, 3qs ` rp4, 4, 4qs. Chú ý rằng 4 ` 4 ` 0 “ 4 ` 3 ` 1 “ 3 ` 3 ` 2 “ 8, nhưng 5 ` 4 ` 3 “ 4 ` 4 ` 4 “ 12.