BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PH„M THÀ DÀU HI—N RÓT GÅN HARDY CHO MËT LÎP TCH PH N LIOUVILLE CC H€M SÈ SÌ C‡P LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC B¼nh ành - N«m 2021 BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PH„M THÀ DÀU HI—N RÓT GÅN HARDY CHO MËT LÎP TCH PH N LIOUVILLE CC H€M SÈ SÌ C‡P CHUY–N NG€NH: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P M‚ SÈ: 8 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n: PGS.TS. THI THU†N QUANG B¼nh ành - 2021 DANH MÖC CC KÞ HI›U R : V nh vi ph¥n Q(x) : Tr÷íng c¡c ph¥n thùc vîi h» sè húu t R(x) : Tr÷íng c¡c ph¥n thùc vîi h» sè thüc C(x) : Tr÷íng c¡c ph¥n thùc vîi h» sè phùc (2j − 1)!! = 1.3.5 . . . (2j − 1). (2j)!! = 2.4 . . . (2j). (3j − 2)!!! = 1.4.7 . . . (3j − 2). (3j − 1)!!! = 2.5.8 . . . (3j − 1). i Möc löc Danh möc c¡c kþ hi»u 1 CC H€M SÈ SÌ C‡P V€ ÀNH LÞ LIOUVILLE 4 1.1 V nh v tr÷íng vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 C¡c kh¡i ni»m v t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Mð rëng logarit v mð rëng mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 ành lþ Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 C¡c h m sè sì c§p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 ành lþ Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Mët sè v½ dö ¡p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 RÓT GÅN HARDY CHO LÎP TCH PH N LIOUVILLE 25 2.1 Mët sè k¸t qu£ chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Rót gån Hardy cho t½ch ph¥n Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Mët sè k¸t qu£ v· rót gån Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 C¡c h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3 C¡c v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 MËT SÈ P DÖNG 38 3.1 Mët sè d¤ng t½ch ph¥n Liouville °c bi»t . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 C¡c t½ch ph¥n Kiºu Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 T i li»u tham kh£o 46 1 MÐ †U Vi»c k¸t luªn mët t½ch ph¥n cõa mët h m sì c§p câ cán l mët h m sè sì c§p hay khæng l mët c¥u häi quan trång ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tø thíi Newton v Leibniz. Ph¦n lîn düa tr¶n c¡c cæng tr¼nh cõa Liouville [10], Risch [13], v Rosentlicht [14], r§t nhi·u ti¸n bë ¢ ¤t ÷ñc v· v§n · n y trong suèt hai th¸ k [1, 2, 3, 4, 7, 9, 16, 17]. Tuy nhi¶n, câ mët sè lîp t½ch ph¥n r§t ÷ñc håc sinh, sinh vi¶n quan t¥m t½nh to¡n nh÷ng v¨n ch÷a câ c¥u tr£ líi ho n to n ¦y õ cho c¥u häi n y. Mët v½ dö trong sè n y l lîp c¡c t½ch ph¥n câ d¤ng Z s xr eax dx, vîi r, s l c¡c sè nguy¶n. Lîp t½ch ph¥n n y ch½nh x¡c l èi t÷ñng nghi¶n cùu trong mët tr÷íng hñp °c bi»t sau ¥y cõa mët ành lþ Liouville [10, 11, 13, 14]. ành lþ (Ti¶u chu©n Liouville èi vîi t½ch ph¥n, 1835). Cho f, g l c¡c h m sè húu t vîi g kh¡c h¬ng sè. Khi â Z f (x)eg(x) dx R l mët h m sè sì c§p n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i mët h m sè húu t R sao cho f (x)eg(x) dx = R(x)eg(x) , ho°c mët c¡ch t÷ìng ÷ìng f (x) = R(x)g 0 (x) + R0 (x). Ti¶u chu©n n y th÷íng ÷ñc sû döng º cho håc sinh t½nh to¡n v nhªn bi¸t r¬ng mët sè lîp nh§t ành t½ch ph¥n cê iºn ch¯ng h¤n nh÷ Z x Z x Z x 2 −u2 du sin u erf(x) = √ e du, Li(x) = , Si(x) = ,... π 0 2 ln u 0 u 2 khæng thº ÷ñc biºu thà d÷îi d¤ng c¡c h m sì c§p. Tuy nhi¶n, b§t ch§p vai trá thi¸t y¸u cõa nâ trong vi»c x¡c ành °c t½nh khæng sì c§p cõa c¡c t½ch ph¥n quan trång trong c¡c ùng döng, mùc ë li¶n quan cõa k¸t qu£ n y trong c¡c t¼nh huèng cö thº ¢ ÷ñc giîi h¤n trong mët v i lîp con cõa lîp t½ch ph¥n Liouville [11, 12, 15]. Chõ · cõa Luªn v«n li¶n quan ¸n c¥u tr£ líi cho c¥u häi n¶u tr¶n èi vîi lîp t½ch R ph¥n Liouville. â l lîp c¡c t½ch ph¥n cõa h m sè câ d¤ng f (x)eg(x) dx trong â f, g l c¡c h m sè húu t, g khæng l h m h¬ng. Möc ti¶u cõa Luªn v«n l tªp trung gi£i quy¸t c¡c b i to¡n sau: 1. Düa v o ti¶u chu©n Liouville nghi¶n cùu ÷a ra mët thuªt to¡n rót gån Hardy º ph¥n t½ch h m d÷îi d§u t½ch ph¥n th nh hai th nh ph¦n cì b£n cüc ¤i v cüc tiºu sao cho ph¥n t½ch n y câ thº ¡p ùng ¦y õ lþ thuy¸t rót gån cõa Hardy º x¡c ành li»u c¡c t½ch ph¥n â câ ph£i l h m sì c§p hay khæng. 2. Nghi¶n cùu mët sè ¡p döng cõa thuªt to¡n. Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn, T i li»u tham kh£o, Luªn v«n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng. Ch÷ìng 1 d nh cho vi»c t¼m hiºu ành lþ Liouville têng qu¡t tr¶n mët tr÷íng vi ph¥n v mët sè h» qu£ °c bi»t cõa nâ èi vîi h m sè sì c§p. Trong Ch÷ìng 2 chóng tæi tªp trung nghi¶n cùu ÷a ra mët thuªt to¡n º ph¥n t½ch h m d÷îi d§u t½ch ph¥n th nh hai th nh ph¦n cì b£n cüc ¤i v cüc tiºu sao cho ph¥n t½ch n y câ thº ¡p ùng ¦y õ lþ thuy¸t rót gån cõa Hardy º x¡c ành li»u c¡c t½ch ph¥n â câ ph£i l h m sì c§p hay khæng, v khi ¢ kh¯ng ành th¼ li»u câ thº t½nh to¡n ÷ñc gi¡ trà ch½nh x¡c hay khæng. Ch÷ìng 3 nghi¶n cùu mët sè ¡p döng cõa thuªt to¡n rót gån Hardy cho lîp t½ch ph¥n Liouville c¡c h m sì c§p. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa th¦y PGS. TS. Th¡i Thu¦n Quang, Khoa To¡n v Thèng k¶, Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn. Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä sü k½nh trång v láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n Th¦y ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. 3 Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn, Pháng  o t¤o Sau ¤i håc, Khoa To¡n, còng quþ th¦y cæ gi¡o gi£ng d¤y lîp cao håc Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p khâa 22 ¢ d y cæng gi£ng d¤y trong suèt khâa håc, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n · t i. Nh¥n ¥y tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn sü hé trñ v· m°t tinh th¦n cõa gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn t¤o måi i·u ki»n gióp ï º tæi ho n th nh tèt khâa håc v luªn v«n n y. M°c dò luªn v«n ÷ñc thüc hi»n vîi sü né lüc cè g­ng h¸t sùc cõa b£n th¥n, nh÷ng do i·u ki»n thíi gian câ h¤n, tr¼nh ë ki¸n thùc v kinh nghi»m nghi¶n cùu cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng gâp þ cõa quþ th¦y cæ gi¡o º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn. 4 Ch÷ìng 1 C¡c h m sè sì c§p v ành lþ Liouville Trong Ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y hai v§n ·: V nh vi ph¥n v ành lþ Liou- ville. Ph¦n ti¸p theo cõa Ch÷ìng, chóng tæi nghi¶n cùu mët sè ¡p döng cõa ành lþ Liouville cho t½nh sì c§p cõa mët sè t½ch ph¥n. 1.1 V nh v tr÷íng vi ph¥n 1.1.1 C¡c kh¡i ni»m v t½nh ch§t ành ngh¾a 1.1.1 ([5]) . Cho R l mët v nh giao ho¡n câ ìn và 1. Ta gåi ¡nh x¤ ∂ : R → R ÷ñc gåi l ¡nh x¤ ¤o h m n¸u  ∂(a + b) = ∂(a) + ∂(b)  , ∀a, b ∈ R.  ∂(ab) = ∂(a)b + a∂(b)  Mët v nh ÷ñc trang bà mët ¤o h m cö thº gåi l v nh vi ph¥n. º thuªn ti»n, ng÷íi mët mi·n nguy¶n vi ph¥n n¸u R 0 ta th÷íng vi¸t ∂(a) = a . Mi·n nguy¶n R ÷ñc gåi l l v nh vi ph¥n. Tr÷íng R ÷ñc gåi l mët tr÷íng vi ph¥n n¸u R l v nh vi ph¥n. M»nh · 1.1.2 ([5]) . Cho R l mët v nh vi ph¥n. Khi â 1) 1'=0. 2) ∂(n1) = 0 vîi måi n ∈ Z. 3) ∂(na) = n∂(a) vîi måi a ∈ R, n ∈ Z. 5 Chùng minh. 1) Ta câ 10 = (1 · 1)0 = 10 · 1 + 1 · 10 n¶n 10 = 10 + 10 . Do â 10 = 0. 2) Ta câ ∂(n1) = n∂(1) = n0 = 0. 3) Ta chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong 2) b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo n. M»nh · 1.1.3 ([5]) . Cho R l mët v nh vi ph¥n. Khi â, vîi måi a ∈ R th¼ (a ) = n 0 nan−1 a0 . Chùng minh. Ta chùng minh m»nh · b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p. 2 0 0 0 0 0 Vîi n = 2 th¼ (a ) = (aa) = a a + aa = 2aa . k 0 k−1 0 Gi£ sû m»nh · óng vîi n = k , ta câ (a ) = ka a. Ta c¦n chùng minh m»nh · óng vîi n = k + 1. Thªt vªy, (ak+1 )0 = (ak a)0 = (ak )0 a + ak a0 = kak−1 a0 a + ak a0 = kak a0 + ak a0 = (k + 1)ak a0 . Vªy m»nh · óng vîi n = k + 1. M»nh · 1.1.4 ([5]) . Cho R l mët tr÷íng vi ph¥n. Khi â, vîi måi a ∈ R \ {0} th¼ (a−1 )0 = −a−2 a0 . Chùng minh. V¼ 0 = 10 = (aa−1 )0 = a0 a−1 + a(a−1 )0 n¶n a(a−1 )0 = −a0 a−1 . −1 0 Do â (a ) = −a−2 a0 . M»nh · 1.1.5 ([5]) . Cho R l mët tr÷íng vi ph¥n. Khi â, vîi måi a ∈ R v b ∈ R \ {0} th¼ a
a0 b − ab0 ∂ = . b b2 Chùng minh. Ta câ (ab−1 )0 = a0 b−1 + a(b−1 )0 = a0 b−1 + a(−b−2 b0 ) = (a0 b − ab0 )(b−2 ). i·u n y cho th§y r¬ng n¸u Q ⊆ R, méi ph¦n tû cõa Q l mët h¬ng sè. Chó þ. N¸u R l mët mi·n nguy¶n vi ph¥n th¼ tr÷íng c¡c th÷ìng F sinh bði R vîi ph²p to¡n ¤o h m l mët tr÷íng vi ph¥n. 6 V½ dö 1.1.6. Måi v nh giao ho¡n R câ ìn và 1 vîi ph²p to¡n ¤o h m t¦m th÷íng d(a) = 0, ∀a ∈ R, l mët v nh vi ph¥n. V½ dö 1.1.7. Cho P (x) l v nh c¡c a thùc câ h» sè thüc vîi ph²p to¡n ¤o h m thæng th÷íng. Khi â P (x) l mët v nh vi ph¥n. Hìn núa, tr÷íng c¡c th÷ìng cõa P (x) l tr÷íng R(x) c¡c ph¥n thùc câ h» sè thüc. Cho n¶n R(x) l mët tr÷íng vi ph¥n vîi ph²p to¡n ¤o h m thæng th÷íng. V½ dö 1.1.8. V nh c¡c h m thüc kh£ vi væ h¤n, v nh c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc vîi ph²p to¡n ¤o h m thæng th÷íng l c¡c v nh vi ph¥n. ành ngh¾a 1.1.9 ([5]) .S ÷ñc gåi mët v nh con vi ph¥n cõa v nh vi ph¥n R n¸u S l v nh con cõa R v âng k½n vîi ph²p to¡n ¤o h m. Nh÷ vªy, S ⊆ R l v nh con vi ph¥n n¸u 1 ∈ S , a, b ∈ S th¼ a − b ∈ S v a ∈ S th¼ a0 ∈ S . Mët c¡ch t÷ìng tü, ideal I cõa v nh vi ph¥n R ÷ñc gåi l ideal vi ph¥n n¸u I âng k½n vîi ph²p to¡n ¤o h m. ành ngh¾a 1.1.10 ([5]) . Cho R, S l c¡c v nh vi ph¥n. nh x¤ ϕ : R → S ÷ñc gåi l mët çng c§u vi ph¥n n¸u   ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)       ϕ(ab)  = ϕ(a)ϕ(b) ϕ(1) =1        ϕ(a0 ) = (ϕ(a))0 .   M»nh · 1.1.11 ([5]). Cho R, S l c¡c v nh vi ph¥n v ϕ : R → S l mët çng c§u v nh. Khi â 1) ker ϕ = x ∈ R : ϕ(x) = 0 l ideal cõa R,  2) nh x¤ f : R/ ker f → Imf l mët ¯ng c§u vi ph¥n. 7 Chùng minh. 1) D¹ th§y r¬ng ker ϕ l mët v nh con cõa R. Ta chùng minh r¬ng ker ϕ l ideal. Vîi måi x ∈ ker ϕ, vîi måi a ∈ R th¼ ϕ(ax) = ϕ(a).ϕ(x) = ϕ(a).0 = 0. Do â ax ∈ ker ϕ. Chùng minh t÷ìng tü th¼ xa ∈ ker ϕ, vîi a ∈ S , x ∈ ker ϕ. Ta chùng minh r¬ng ker ϕ âng k½n vîi ph²p to¡n ¤o h m. Gi£ sû a ∈ ker ϕ. Khi 0 0 0 0 â ϕ(a) = 0. Ta câ ϕ(a ) = (ϕ(a)) = (0 ) = 0 hay a ∈ ker ϕ. 2) Nhªn x²t r¬ng f l mët song ¡nh. Hìn núa, vîi måi a ∈ R th¼ f (a)0 = (f (a))0 = f (a0 ) = f (a0 ) = f (a)0 . V¼ vªy f l mët ¯ng c§u vi ph¥n. M»nh · 1.1.12 ([5]) . Cho R l mët v nh vi ph¥n. Khi â C = ker(∂) = x ∈ R : x0 = 0  l mët v nh con vi ph¥n cõa R. Hìn núa, n¸u R l mët tr÷íng vi ph¥n th¼ C l mët tr÷íng vi ph¥n. Chùng minh. Ta câ 1 ∈ C v¼ 10 = 0. Gi£ sû a, b ∈ C . Khi â   (a − b)0 = a0 − b 0 = 0 − 0 = 0   (ab)0 = a0 b + ab0 = 0b + a0 = 0   hay a − b ∈ C v ab ∈ C . Vªy C l mët v nh con vi ph¥n. Gi£ sû R l mët tr÷íng. Khi â, vîi måi a ∈ C , a 6= 0 th¼ (a−1 )0 = −a−2 a0 = −a−2 0 = 0. −1 cho n¶n a ∈ C, hay C l mët tr÷íng. V½ dö 1.1.13 ([5]) . Tr÷íng c¡c h m ph¥n thùc vîi h» sè thüc R(x) l mët tr÷íng vi d ph¥n vîi ∂ = . Hìn núa, R(x) câ tr÷íng c¡c h¬ng l R. dx Q(π) (¯ng c§u vîi Q(x)) l mët tr÷íng vi ph¥n vîi ∂ = d dπ . Nâi c¡ch kh¡c, π 0 = 1 v (π 3 )0 = 3π 2 ,. . .. 8 Sau ¥y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · v· mð rëng v nh vi ph¥n. Trong thüc t¸, ng÷íi ta quan t¥m ¸n c¡c mð rëng v nh vi ph¥n (tr÷íng vi ph¥n) sao cho c¡c v nh h¬ng sè (tr÷íng h¬ng sè) l tròng nhau. ành ngh¾a 1.1.14. V nh vi ph¥n R ÷ñc gåi l mët v nh vi ph¥n mð rëng cõa v nh vi ph¥n S n¸u R l mët mð rëng v nh cõa S v ¡nh x¤ ¤o h m tr¶n R khi h¤n ch¸ tr¶n S l tròng vîi ¡nh x¤ ¤o h m tr¶n S. Mët c¡ch t÷ìng tü ta ành ngh¾a cho mð rëng tr÷íng vi ph¥n. M»nh · 1.1.15 ([5]) . Cho R l mët mi·n nguy¶n vi ph¥n. Khi â ¡nh x¤ ¤o h m tr¶n R ÷ñc mð rëng duy nh§t tr¶n tr÷íng c¡c th÷ìng F r(R) mët c¡ch duy nh§t. M»nh · 1.1.16 ([5]) . Cho F l mët tr÷íng vi ph¥n vîi °c sè 0 v K/F l mët mð rëng ¤i sè. nh x¤ ¤o h m tr¶n F ÷ñc mð rëng tr¶n K mët c¡ch duy nh§t. Khi â, K l mët tr÷íng vi ph¥n. Chùng minh. Theo M»nh · 5.3.1 trong [5] th¼ ¡nh x¤ ¤o h m tr¶n tr÷íng F ÷ñc mð rëng tr¶n K. Ta chùng minh t½nh duy nh§t. V¼ K/F l mët mð rëng ¤i sè n¶n vîi méi α ∈ K tçn t¤i f (x) ∈ F[x] l a thùc tèi tiºu cõa α tr¶n F. Gåi Df (x) l ¤o h m h¼nh thùc cõa f (x). Khi â f (x) v Df (x) nguy¶n tè còng nhau. i·u n y ngh¾a l Df (α) 6= 0. n °t f (x) = x + an−1 xn−1 + · · · + a0 . Khi â (f (x))0 = nxn−1 x0 + (a0n−1 xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 x0 ) + · · · + (a01 x + a1 x0 ) + a00 . Do â, (f (x))0 = Df (x)x0 + g(x) vîi g(x) = a0n−1 + · · · + a01 x + a00 . 0 V¼ α l nghi»m cõa f (x) n¶n (f (α)) = 0. Do â 0 = Df (α)α0 + g(α). 9 Suy ra α biºu di¹n duy nh§t theo g(α) . Df α √ √ Ta bi¸t r¬ng, tªp c¡c sè húu t Q l mët tr÷íng câ °c sè 0. X²t 5 ∈ Q[ 5]. Ta câ √ ( 5)2 − 5 = 0. L§y ¤o h m hai v¸ vîi nhªn x²t tr÷íng h¬ng sè l Q ta ÷ñc √ √ 2. 5( 5)0 − 0 = 0. √ Do â ( 5)0 = 0. 1.1.2 Mð rëng logarit v mð rëng mô ành ngh¾a 1.1.17 ([5]) . Cho F l mët tr÷íng vi ph¥n. F(t)/F ÷ñc gåi l s0 1) mð rëng logarit n¸u tçn t¤i s ∈ F sao cho t0 = . s 2) mð rëng mô n¸u tçn t¤i s ∈ F sao cho t0 = ts0 . ành ngh¾a 1.1.18 ([5]) . Cho F l mët tr÷íng vi ph¥n vîi tr÷íng h¬ng sè C. Tr÷íng vi ph¥n mð rëng E/F ÷ñc gåi l mët mð rëng sì c§p n¸u tçn t¤i d¢y c¡c tr÷íng vi ph¥n lçng nhau F = F0 ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fl = E trong â Fj l c¡c tr÷íng câ còng tr÷íng h¬ng sè v c¡c mð rëng Fj+1 /Fj l ¤i sè, logarit v mô. Bê · 1.1.19 ([5]) . Cho F l tr÷íng vi ph¥n vîi mð rëng tr÷íng vi ph¥n F (t). Gi£ sû F (t) v F câ c¡c còng h¬ng sè v t l si¶u vi»t tr¶n F. 1) Cho t0 ∈ F v f (t) ∈ F[t] vîi deg(f (t)) > 0. Khi â, (f (t))0 ∈ F[t] v deg(f (t)) = deg(f (t)0 ) n¸u v ch¿ n¸u h» sè ¦u ti¶n cõa f (t) khæng l h¬ng sè. N¸u h» sè 0 ¦u ti¶n cõa f (t) l h¬ng sè th¼ deg(f (t) ) = deg(f (t)) − 1. 10 0 0 2) Cho tt ∈ F. Khi â, vîi måi a ∈ F∗ , n ∈ Z6=0 , (atn ) = htn , vîi h ∈ F∗ . Hìn núa,
0 n¸u f (t) ∈ F [t] th¼ deg f (t) > 0. Ngo i ra, f (t) = cf (t) èi vîi c¡c c ∈ F
n¸u f (t) l mët ìn thùc. Chùng minh. Ta gi£ sû f (t) = an tn + an−1 tn−1 + · · · + a0 ∈ F [t]
trong â an 6= 0 v deg f (t) = n > 0. • Ta chùng minh kh¯ng ành 1). ¤o h m cõa f (t) ta ÷ñc (f (t))0 = an 0 tn + (nan t0 + a0n−1 )tn−1 + ((n − 1)an−1 t0 + a0n−2 )tn−2 + · · · + a1 t0 + a00 .
0 V¼ F l tr÷íng vi ph¥n n¶n aj ∈ F n¸u aj ∈ F. Do â, t§t c£ c¡c h» sè ·u n¬m trong F v¼ t0 ∈ F. V¼ an khæng l 0 h¬ng sè n¶n an 6= 0. Do â, bªc cõa nâ khæng bà tri»t ti¶u khi v ch¿ khi h» sè ¦u ti¶n khæng ph£i l h¬ng sè. Trong tr÷íng hñp n y, ta câ a0n = 0. Gi£ sû (nan t0 + a0n−1 ) = 0 (tùc l h» sè cõa t n−1 b¬ng 0). i·u n y câ ngh¾a l , (nan t0 + an−1 )0 = na0n t + nan t0 + a0n−1 = 0 (ta ang gi£ sû a0n = 0). V¼ vªy, tçn t¤i c ∈ F sao cho nan t + an−1 = c. V¼ nan 6= 0 v nan v an−1 ∈ F n¶n ta suy ra ÷ñc t l ¤i sè 0 tr¶n F. i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t t si¶u vi»t tr¶n F. V¼ vªy, (nan t + a (t))0 l n − 1. • Ta chùng minh kh¯ng ành 2). t0 Gi£ sû t = b ∈ F. Cho a ∈ F∗ . Khi â v¼ t0 = bt n¶n (atn )0 = a0 tn + natn−1 t0 = a0 + nab tn .
0 N¸u a + nab = 0 th¼ atn l h¬ng. Vªy t l nghi»m cõa a thùc aX n + c vîi h¬ng sè c = −atn . V¼ a 6= 0 v a, c ∈ F, i·u n y câ ngh¾a l t ¤i sè tr¶n F. M¥u thu¨n vîi 0 t½nh si¶u vi»t cõa t. Do â, a + nab 6= 0 (tùc l , at n0 = htn ) vîi h = a0 + nab ∈ F∗ . 0 Chó þ r¬ng ph²p t½nh ð tr¶n cho th§y r¬ng méi sè h¤ng kh¡c 0 cõa f (t) sinh ra mët 0 sè h¤ng kh¡c 0 (còng bªc) trong f (t). Khi â, deg(f (t)) = deg((f (t)) . Ngo i ra, n¸u n n 0 n f (t) l mët a thùc kh¡c 0, gi£ sû f (t) = at , tø ph²p t½nh tr¶n suy ra (at ) = ht ) 0 ∗ do â (f (t)) = cf (t) trong â, c = h/a ∈ F . 11
0 Ng÷ñc l¤i, gi£ sû r¬ng f (t) = cf (t) vîi c ∈ F. Khi â   c = h \ aj = a0j + jaj b \ aj vîi måi aj 6= 0. Gi£ sû r¬ng, am , al 6= 0 vîi måi m 6= l . Khi â, a0m + mam b a0 + lal b = l . am al i·u â câ ngh¾a l , a0l + lal b am = a0m + mam b al .

Do â, 0 am tm (a0m + mam b) al tm+l − (a0l + lal b)am tm+l  = = 0. al tl a2l t2l  m am t Nh÷ vªy, al tl = z vîi z l h¬ng sè thuëc F. Cho n¶n, am tm − zal tl = 0 (t l mët a thùc kh¡c 0 tr¶n F). Khi â, t ¤i sè tr¶n F (m¥u thu¨n). Do â, câ nhi·u nh§t mët
h» sè kh¡c 0 (ngh¾a l f (t) l mët ìn thùc). 1.2 ành lþ Liouville Trong möc n y, chóng tæi nghi¶n cùu c¡c v§n · v· ành lþ Liouville v mët sè ¡p döng trong b i to¡n x¡c ành t½nh ch§t sì c§p cõa mët sè t½ch ph¥n. Tr÷îc h¸t, chóng tæi nh­c l¤i v· c¡c h m sè sì c§p. 1.2.1 C¡c h m sè sì c§p ành ngh¾a 1.2.1. Mët h m sè ÷ñc gåi l sì c§p n¸u nâ ÷ñc x¥y düng tø C v x b¬ng c¡ch sû döng c¡c ph²p to¡n ¤i sè, lôy thøa ho°c loagrit. V½ dö 1.2.2. C¡c h m sè sau l h m sè sì c§p s √ 3 5 e x +1−7 1) f (x) = √ . ln 9x15 + x4 − 1 + ln(e1/x − 6) √ 2) f (x) = ln x2 + 1 , √ 2 3) f (x) = e 3x . 12 V½ dö 1.2.3. C¡c h m sè l÷ñng gi¡c eix − e−ix eix + e−ix sin x = v cos x = . 2i 2i √ √ arcsin x = −i ln(ix + 1 − x2 ) v arccos x = −i ln(x + x2 − 1) l c¡c h m sì c§p. i Sû döng ¯ng thùc arctan x = 2 (ln(1 − ix) − ln(1 + ix)) th¼ arctan x công l h m sè sì c§p. 1.2.2 ành lþ Liouville ành lþ 1.2.4 ([5],(Liouville)) . Cho F l tr÷íng vi ph¥n vîi °c sè 0 v α ∈ F. N¸u y 0 = α câ nghi»m y trong mð rëng sì c§p cõa F (vîi c¡c h¬ng sè gièng nhau), th¼ tçn t¤i c¡c h¬ng sè c1 , c2 , . . . , cn v c¡c ph¦n tû u1 , u2 , . . . , un , v ∈ F sao cho u01 u0 u0 α = v 0 + c1 · + c2 · 2 + · · · + cn · n . u1 u2 un Chùng minh. Gi£ sû r¬ng y = α, nghi»m cõa y 0 = α l R nghi»m cì b£n tr¶n F. Khi â tçn t¤i mët d¢y c¡c tr÷íng vi ph¥n lçng nhau F ⊆ F(t1 ) ⊆ F(t1 , t2 ) ⊆ . . . ⊆ F(t1 , t2 , . . . , tN ) sao cho t§t c£ c¡c tr÷íng n y câ còng c¡c h¬ng sè, y ∈ F(t1 , . . . , tN ), v méi ti l ¤i sè, logarit ho°c mô tr¶n F(t1 , . . . , ti−1 ). Ta chùng minh b¬ng quy n¤p. N¸u N = 0, y ∈ F th¼ i·u â ÷ñc chùng minh. Gi£ sû k¸t qu£ óng ¸n b÷îc thù N − 1. Chó þ r¬ng d¢y lçng nhau vîi F l tri»t ti¶u ð b÷îc thù N − 1. Do â, theo Nguy¶n l½ quy n¤p, tçn t¤i c¡c h¬ng sè c1 , c2 , . . . , cn v c¡c ph¦n tû u1 , u2 , . . . , un , v ∈ F(t1 ) sao cho n 0 X u0i α=v + ci · . i=1 ui Ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng c¡c ph¦n tû n¬m trong F (khæng n¬m trong F(t1 )). Ta x²t mët sè tr÷íng hñp: t1 l ¤i sè ho°c si¶u vi»t (logarit ho°c mô). Tr÷íng hñp 1. Gi£ sû t1 = t l ¤i sè tr¶n F. Khi â, tçn t¤i c¡c a thùc kh¡c 0 trong F[t] sao cho ui = Ui (t) v v = V (t). X²t c¡c li¶n hñp ríi nhau cõa t trong tr÷íng 13 âng ¤i sè cõa F(t) (ho°c mët sè tr÷íng t¡ch tr¶n F(t)) ta k½ hi»u l t = τ1 , τ2 , . . . , τs . B¥y gií, E = F(τ1 , . . . , τs ) l mët mð rëng ¤i sè cõa F n¶n nâ mð rëng duy nh§t d÷îi d¤ng mët tr÷íng vi ph¥n. Khi â tçn t¤i mët ¯ng c§u cõa E cè ành c¡c ph¦n tø cõa F sao cho bi¸n t = τ1 th nh τj v gåi ¡nh x¤ n y l σj , khi â ta câ   n n X Ui0 (t)  X Ui0 (τj ) α = σj (α) = σj V (t)0 + ci · 0 = V (τj ) + ci · . i=1 Ui (t) i=1 Ui (τj ) −1 Nhªn x²t r¬ng v¼ c¡c tr÷íng câ °c sè 0 n¶n s tçn t¤i. B¥y gií, mët c¡ch ¯ng cü, cëng t§t c£ c¡c biºu thùc li¶n hñp n y v chia cho s, ta ÷ñc (A1 . . . As )0 A0 (A2 . . . As ) + (A1 )A02 (A3 . . . As ) + · · · + (A1 . . . As−1 )A0s = 1 A1 . . . As A1 . . . As 0 0 0 A A A = 1 + 2 + ... + s. A1 A2 As i·u n y suy ra r¬ng s s 1X 1X α= = σj (α) s j=1 s j=1   s n 0 1 X 0 X U (τj ) = V (τj ) + ci i  s j=1 i=1 Ui (τj ) s n
0 1X 0 X ci Ui (τ1 ) . . . Ui (τs ) = V (τj ) + · . s j=1 i=1 s Ui (τ1 ) . . . Ui (τs ) Chó þ r¬ng, 1 s (V 0 (τ1 ) + · · · + V 0 (τs )) ÷ñc cè ành qua t§t c£ c¡c tü çng c§u v¼ 0 (Ui (τ1 )...Ui (τs )) nâ l èi xùng. T÷ìng tü nh÷ vªy, ÷ñc cè ành qua t§t c£ c¡c tü Ui (τ1 )...Ui (τs ) çng c§u v¼ nâ l èi xùng . Do â, c¡c ph¦n tû n y n¬m trong F. B¬ng c¡ch °t v = 1s V (τ1 ) + · · · + V (τs ) ∈ F v ui = Ui (τ1 ) . . . Ui (τs ) ∈ F khi â ành lþ ÷ñc
chùng minh xong. Tr÷íng hñp 2. Gi£ sû t1 = t l si¶u vi»t tr¶n F. Ta câ v, u1 , . . . , un ∈ F(t1 ) = F(t). V¼ t l si¶u vi»t, ta x²t a thùc húu t theo bi¸n t vîi h» sè trong F. C¡c a thùc nh÷ k k vªy câ thº ph¥n t½ch th nh nh¥n tû v vîi b§t ký w = ui , ta câ w = a1 (t) 1 . . . al (t) l · b, trong â ai ∈ F(t) l ìn thùc b§t kh£ quy, kj ∈ Z 6= 0 v b ∈ F∗ ta câ
0 w0 ba1 (t)k1 · · · al (t)kl b0 a01 (t) a0l (t) = = + k1 · + · · · + k l · . w ba1 (t)k1 · · · al (t)kl b a1 (t) al (t) 14 Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû méi ui l mët ìn thùc b§t kh£ quy a(t) ∈ F[t] ho°c mët ph¦n tû cõa F. èi vîi v , ph¥n t½ch nâ th nh c¡c ph¥n thùc th nh g(t) ph¦n m méi th nh ph¦n câ d¤ng vîi f (t) ∈ F[t] l ìn thùc b§t kh£ quy n o â f (t)τ v g(t) ∈ F[t] sao cho deg(g(t)) < deg(f (t)). Tr÷íng hñp 2A. Gi£ sû r¬ng t l logarit tr¶n F. ∗ 0 a0 0 a0 i·u n y câ ngh¾a l tçn t¤i a ∈ F sao cho t = . Do â, t = ∈ F. V¼ vªy, n¸u a a f (t) ∈ F[t], th¼ (f (t))0 ∈ F[t] v (f (t))0 câ bªc nhä hìn 1 bªc cõa f (t). V¼ f (t) l b§t 0 kh£ quy, (f (t)) v f (t) nguy¶n tè còng nhau. Chó þ r¬ng 0 (g(t))0 (f (t))τ − g(t) · τ · (f (t))τ−1 (f (t))0  g(t) = f (t)τ (f (t))2τ (g(t))0 τg(t)(f (t))0 = − . (f (t))τ (f (t))τ+1 B¥y gií, bªc cõa g(t) v (f (t))0 ·u nhä hìn bªc cõa f (t). V¼ f (t) l b§t kh£ quy 0 0 n¶n khæng chia h¸t g(t) hay (f (t)) . Do â, biºu di¹n ph¦n ph¥n thùc cõa v gçm c¡c sè h¤ng câ m¨u l (f (t))τ+1 . V¼ vªy, nâ xu§t hi»n trong biºu di¹n ph¥n thùc cõa α0 s Nh÷ng α ∈ F n¶n nâ khæng câ th nh ph¦n ph¥n thùc trong biºu di¹n cõa nâ. V¼ vªy, 0 c¡c sè h¤ng khæng thº xu§t hi»n trong biºu di¹n cõa v s. T÷ìng tü nh÷ vªy, chóng công khæng xu§t hi»n trong biºu di¹n cõa ui . Do â, u1 , . . . , un ∈ F v v = V (t) ∈ F[t]. n X u0 0 Ta câ α = (V (t)) − ci i vîi ci , ui , u0i v α ·u trong F. Do â, (V (t))0 ∈ F. i=1 ui Do â, v = V (t) = ct + d vîi c, d ∈ F. Nh÷ng v câ bªc 0 n¶n c l h¬ng sè. Do â, a0 (V (t))0 = c a + d0 vîi a, d ∈ F v a l h¬ng sè. Ta câ n a0 X u0i α = d0 + c + ci , a i=1 ui ¥y l i·u ph£i chùng minh. Tr÷íng hñp 2B. Gi£ sû r¬ng t l mô tr¶n F. t0 i·u n y câ ngh¾a l t = b0 vîi b ∈ F. Suy ra, deg(f (t)) = deg((f (t))0 ) v f (t) chia 0 h¸t (f (t)) ch¿ khi f (t) l mët ìn thùc. V¼ vªy, n¸u f (t) l ìn thùc b§t kh£ quy v 0 f (t) 6= t khi â f (t) khæng l ìn thùc cho n¶n f (t) khæng chia h¸t (f (t)) . Do â, n¸u 0 f (t) 6= t th¼ (ff(t)) (t) câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng a thùc theo bi¸n t cëng vîi mët ph¥n thùc th½ch hñp vîi m¨u f (t). 15 g(t) Chóng ta câ ÷ñc mët sü m¥u thu¨n v¼ n¸u xu§t hi»n trong biºu di¹n ph¥n (f (t))τ 0 τ+1 thùc cõa v th¼ biºu di¹n ph¥n thùc cõa v câ m¨u (f (t)) . Do â, nâ xu§t hi»n trong 0 biºu di¹n cõa α ∈ F. Lªp luªn t÷ìng tü èi vîi ui s. Do â, c¡c ph¥n thùc ph£i câ d¤ng f (t)m = tm . i·u n y suy ra v = V (t) = aj tj vîi aj ∈ F, trong â têng ch¤y tr¶n P mët tªp húu h¤n c¡c sè nguy¶n (mët sè lôy thøa câ thº ¥m). T÷ìng tü nh÷ vªy, t§t c£ ui ∈ F ngo¤i trø ui = t, khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû u1 = t. Khi â n n X u0i t0 X u0i ci = c1 · + ci . i=1 ui t i=2 ui t0 Nh÷ng t = b0 ∈ F. V¼ vªy n 0 X 0u0 (V (t)) = α − c1 b − ci i ∈ F. i=2 ui n 0 n ∗ 0 Nh­c l¤i r¬ng, (at ) = ht vîi h ∈ F . Nh÷ng (V (t)) khæng câ sè h¤ng t (thuëc F), 0 ∗ do â, V (t) = at = a ∈ F . Do â, n n t0 X u0i 0 0 X u0 α = c1 · + ci + v = (c1 b + v) + ci i , t i=2 ui i=2 ui ¥y l i·u ph£i chùng minh. H» qu£ 1.2.5 ([5]) . Cho f (x), g(x) ∈ C(x) kh¡c 0 v gi£ sû r¬ng g(x) khæng l h¬ng sè. Khi â Z f (x)eg(x) dx sì c§p n¸u v ch¿ n¸u f (x) = a0 (x) + a(x)g 0 (x) vîi a(x) ∈ C(x). Chùng minh. Ta vi¸t f = f (x), g = g(x), . . . . 0 Cho F = C(x) v t = eg sao cho tt = g 0 (ngh¾a l F(t) l mët mð rëng mô). Ngo i ra, v¼ g khæng l h¬ng sè n¶n F(t) l mët mð rëng si¶u vi»t cõa F. R R Gi£ sû f eg dx = f tdx l sì c§p, theo ành lþ Lioville, tçn t¤i v, u1 , u2 , . . . , un ∈ F(t) v c1 , c2 , . . . , cn ∈ C sao cho n X u0 f t = v0 + ci i . i=1 ui 16 Nh÷ trong ph¦n chùng minh ành lþ Liouville, chóng ta câ thº t¡ch méi ui ∈ / F th nh t½ch lôy thøa cõa c¡c ph¦n tû b§t kh£ quy cõa F[t] v sû döng vi ph¥n logarit ta suy ra r¬ng méi ui ∈ /Fl c¡c ìn thùc b§t kh£ quy ríi nhau. a B¥y gií, biºu di¹n v d÷îi d¤ng bk (vîi deg(a) < deg(b) v k ∈ Z, k > 0). Khi â a0 bk − akbk−1 b0 a0 abk = − k . b2k bk bk+1 0 P u0 Chó þ r¬ng, v = ft − ci uii , vîi deg(ui ) > 0 l ìn thùc b§t kh£ quy ríi nhau v ch¿ xu§t hi»n trong c¡c m¨u ð c¡c lôy thøa ¦u ti¶n. i·u n y câ ngh¾a l a0 bk −akbk−1 b0 = 0 a (tùc l ( )0 = 0) ho°c k = 1 (ngh¾a l ch¿ lôy thøa ¦u ti¶n cõa b xu§t hi»n trong ph¥n b thùc). a0 0 B¥y gií, n¸u k = 1, ta câ b − ab b2 v do â sè h¤ng thù hai khæng thº rót gån (sau 0 khi rót gån ta câ lôy thøa ¦u ti¶n cõa b xu§t hi»n). Do â b ph£i chia h¸t −ab (trong F[t]). M b b§t kh£ quy cho n¶n b chia h¸t −a ho°c b0 . Nh÷ng deg(a) < deg(b), v¼ vªy b ph£i chia h¸t b0 . i·u n y suy ra deg(b) = deg(b0 ), hay b0 = cb vîi c ∈ F. Cho n¶n b ph£i l mët ìn thùc. M b b§t kh£ quy n¶n b = t. 0 k k−1 0 M°t kh¡c, a b − akb b = 0 do â a0 b = kab0 . Nh÷ vªy, b chia h¸t kab0 theo lªp k luªn tr¶n ta suy ra b = t. Do â biºu di¹n ph¥n thùc cõa v ð m¨u b = tk . Do â, pi tj vîi pj ∈ F (têng n y l§y tr¶n tªp húu h¤n c¡c sè nguy¶n). P v= 0 Pn 0 0 P B¥y gií, ta lªp luªn cho ui s. Chó þ r¬ng, i=1 c i ui /u i = f t − v = f t − pi t j v uj ∈ / F ho°c ìn thùc b§t kh£ quy. Do â ui ∈ / F ch¿ câ thº l ui = t. Trong tr÷íng 0 0 hñp n y ui /ui = t /t ∈ F. Do â n X ci u0i /ui ∈ F. i=1 Ta câ n X u0 X X f t = v0 + ci i = p0j tj + pj jtj−1 t0 + q i=1 ui Pn 0 vîi q = i=1 ui /ui ∈ F. 0 0 P 0 j P Nh­c l¤i r¬ng t /t = g ∈ F n¶n f t = pj t + jpj g 0 tj + q . çng nh§t c¡c h» sè 0 cõa t 1 = p01 + 1p1 g 0 . Cho a = p1 ∈ F, khi â f = a0 + ag 0 . ta ÷ñc f 0 0 R g R 0 Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f = a + ag vîi a ∈ F. Khi â f e = (a + ag 0 )eg = aeg .