BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THÚY HƯỜNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn : TS. NGUYỄN VĂN VŨ BÌNH ĐỊNH - 2021 i Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Phép tính vi phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phép tính tích phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Đa thức và một vài tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Một số lớp đa thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Một số bài toán nội suy cổ điển 9 2.1 Khai triển Taylor và một số bài toán nội suy Taylor . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Bài toán nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Một số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Khai triển Lagrange và bài toán nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Một số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Đa thức nội suy của một hàm và đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . 16 3 Nội suy Lidstone 18 3.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Đa thức Lidstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Biểu diễn đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Biểu diễn sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ii 4 Ứng dụng bài toán nội suy trong giải toán THPT 43 Kết luận 55 1 Mở đầu Trong nhiều tình huống nhất định, ta cần phải xác định giá trị (gần đúng) của một hàm số f (x) tại một họ điểm cho trước, với những điều kiện ban đầu phù hợp (chẳng hạn, biết một số giá trị rời rạc của hàm số và của các đạo hàm của nó đến cấp nào đó tại một số điểm x1 , x2 , ..., xk ). Ngay cả khi biểu thức xác định hàm số đã được cho tường minh, việc tính toán chính xác giá trị hàm theo công thức đôi khi cũng là một công việc tương đối phức tạp. Bởi vậy, việc tìm kiếm những công cụ tính toán xấp xỉ có hiệu quả là một vấn đề có nhiều ý nghĩa. Nghiên cứu những phép xấp xỉ như thế là nội dung của bài toán nội suy, một trường hợp riêng của lý thuyết xấp xỉ trong Giải tích số. Các bài toán nội suy cổ điển ra đời từ rất sớm và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, là một phần quan trọng của đại số và giải tích Toán học. Chúng không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,... Trong chương trình toán phổ thông, lý thuyết về nội suy chưa được đề cập đầy đủ, nhưng đôi khi ta vẫn bắt gặp những ứng dụng sơ cấp của nó (thường ẩn sau các định lý, những bài toán liên hệ với đa thức). Trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp, các bài toán liên quan đến bài toán nội suy hay xuất hiện dưới dạng các bài toán xác định đa thức; các bài toán về khai triển, đồng nhất thức; ước lượng và tính giá trị của các tổng, tích; các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước;... Đây thường là các bài toán khó, và nhiều khi đòi hỏi kỹ thuật phức tạp. Trong những tình huống như vậy, việc vận dụng lý thuyết về các bài toán nội suy dưới góc độ toán phổ thông là cần thiết, thậm chí cho ra những lời giải gọn gàng hơn. 2 Luận văn này hướng đến mục tiêu tiếp cận những vấn đề như vậy. Mục tiêu chủ yếu của đề tài nhằm tiếp cận một số vấn đề liên quan đến bài toán nội suy đa thức và vận dụng chúng vào một số bài toán có nội dung liên quan ở chương trình bậc trung học phổ thông. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn gồm có bốn chương. Chương 1: Một số kiến thức cơ sở, trình bày một số kiến thức về phép tính vi phân hàm một biến; đa thức và một vài tính chất sơ cấp, các lớp đa thức đa thức Euler, đa thức Bernoulli. Chương 2: Một số bài toán nội suy cổ điển, khảo sát một số lớp bài toán nội suy cổ điển như: khai triển Taylor, khai triển Lagrange, nội suy Newton; đồng thời trình bày sơ bộ lý thuyết ước lượng sai số trong bài toán nội suy. Chương 3: Nội suy Lidstone, dành cho việc nghiên cứu một số vấn đề về đa thức Lidstone, biểu diễn của đa thức nội suy Lidstone và biểu diễn sai số tương ứng. Chương 4: Ứng dụng, giới thiệu một số bài toán ở bậc trung học phổ thông mà có thể ứng dụng được đa thức nội suy. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn Nguyễn Văn Vũ, Trường Đại học Quy Nhơn. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy vì đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Phương pháp toán sơ cấp Khóa 22 đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài. Cuối cùng, tác giả cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình và bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học và luận văn này. Mặc dù tác giả đã cố gắng nỗ lực hết mình nhưng luận văn không tránh khỏi có chỗ thiếu sót cũng như hạn chế nhất định. Tác giả rất mong nhận được những góp ý của quý Thầy Cô cùng bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi hệ thống hóa một số kiến thức chuẩn bị cần thiết về sau. Chúng được tham khảo từ các tài liệu [11], [14], [1], [16]. Do điều kiện có hạn, tác giả sẽ chỉ tập trung đề cập đến những khái niệm quan trọng nhất, phần còn lại được coi như là quen thuộc, hoặc có thể tìm thấy từ những tài liệu đã dẫn ra. 1.1 Phép tính vi phân hàm một biến Trong nhiều nội dung chính về sau luận văn sẽ thường xuyên đề cập đến các công cụ từ giải tích hàm một biến. Mục này sẽ nhắc lại một vài đối tượng thường xuất hiện nhất trong những lập luận hoặc tính toán. Với một dãy số thực (an ) cho trước người ta nói a là giới hạn của dãy (hay dãy (an ) hội tụ về a) nếu ∀ϵ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho: n ≥ n0 ⇒ an − a < ϵ. Trong trường hợp ngược lại dãy (an ) là phân kỳ. Về mặt ký hiệu, giống như thông lệ ở các giáo trình giải tích, chúng tôi viết limn→∞ an = a (hay an → a) để chỉ cho sự kiện dãy (an ) hội tụ về a. Bây giờ, xét hàm số f : D → R với D là một tập trong R và a là điểm tụ của tập D. Số L sẽ gọi là giới hạn của f khi x dần đến a nếu ∀(xn ) ⊂ D, xn ̸= a, xn → a ⇒ f (xn ) → L. 4 Người ta định nghĩa hàm f là liên tục tại điểm a trên miền xác định nếu có đẳng thức lim f (x) = f (a). x→a Nếu D là một khoảng và f liên tục tại mọi điểm của nó thì ta nói hàm f là liên tục trên D. Hàm số f xác định trên một khoảng (a, b) gọi là khả vi x0 ∈ (a, b) nếu giới hạn f (x0 + h) − f (x0 ) lim h→0 h tồn tại và hữu hạn. Giá trị của giới hạn đó là đạo hàm của hàm f tại x0 hay kí hiệu là f ′ (x0 ). Ta nói f khả vi trên khoảng (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm trong đó. Lúc này, đạo hàm f ′ là một hàm số xác định trên toàn bộ (a, b). Bằng quy nạp, người ta định nghĩa các đạo hàm cấp cao của f . Theo đó, đạo hàm cấp k của hàm số f tại x, ký hiệu f (k) (x) được xác định như là đạo hàm tại x của hàm đạo hàm cấp (k − 1)  ′ f (k) (x) = f (k−1) (x). Hàm f sẽ gọi là khả vi liên tục đến cấp k, hay thuộc lớp C k , nếu đạo hàm f (k) tồn tại và là hàm số liên tục. Ví dụ 1.1.1. Ví dụ này minh họa cho một lớp hàm khả vi đến cấp tùy ý trên tập xác 1 định. Xét hàm số y = f (x) = x+3 , n ∈ N ∗ . Ta có 1 1! y ′ = (−1)1 = (−1) 1 , (x + 3)2 (x + 3)2 1.2 2! y ′′ = (−1)2 = (−1) 2 . (x + 3)3 (x + 3)3 Từ đây có dự đoán n! y (n) = (−1)n . (1.1) (x + 3)n+1 Chứng minh (1.1) bằng quy nạp. Với n = 1 thì (1.1) hiển nhiên đúng. Giả sử 1.1 đúng với n = k ≥ 1,, tức là k! y (k) = (−1)k . (x + 3)k+1 5 Ta cần chứng minh 1.1 đúng với n = k + 1.Thật vậy, theo định nghĩa  ′  ′ (k+1)  (k) ′ k k! k+1 k! k+1 y = y = (−1) = (−1)  2 (x + 3) (x + 3)k+1 (x + 3) k+1 k!(k + 1) (k + 1)! = (−1)k+1 k+2 = (−1)k+1 . , (x + 3) (x + 3)k+2 tức là (1.1) đúng với n = k + 1. Các định lý giá trị trung bình sau đây sẽ là đối tượng có ích trong một số lập luận phía sau. Định lý 1.1.2 (Rolle, [14]). Cho f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong (a, b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f ′ (c) = 0. Định lý 1.1.3 (Lagrange, [14]). Nếu f là hàm số liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) f ′ (c) = . b−a 1.2 Phép tính tích phân hàm một biến Bên cạnh khái niệm vi phân, tích phân xác định cũng sẽ là đối tượng quan trọng cho việc trình bày nội dung về sau. Chúng tôi nhắc lại sơ bộ một vài tính chất cơ sở của khái niệm này. Xét một hàm số f xác định và bị chặn trên [a, b]. Chia một cách tùy ý đoạn [a, b] bởi các điểm chia a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b. Trên mỗi đoạn [xi , xi+1 ], lấy một điểm ξi và lập tổng tích phân n−1 X In = f (ξ0 ) △ x0 + f (ξ1 ) △ x1 + f (ξ2 ) △ x2 + . . . + f (ξn−1 ) △ xn−1 = f (ξi ) △ xi . i=0 Nếu tồn tại giới hạn của In khi △xi → 0 không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn điểm ξi trong đoạn [xi , xi+1 ], thì ta nói hàm f khả tích trên đoạn [a, b] và gọi giới hạn nói trên là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b]. Nói riêng, mọi hàm số liên tục đều là khả tích trên đoạn con bao hàm trong miền xác định của nó. Một số tính chất cơ bản của tích phân xác định đã được trình bày trong tài liệu [14]. 6 Để kết thúc mục này, chúng tôi nhắc lại kết quả sau đây về định lý giá trị trung bình tích phân. Định lý 1.2.1. Nếu hàm số f khả tích trên đoạn [a, b] và m ≤ f (x) ≤ M, với mọi x ∈ [a; b] thì tồn tại một số m ≤ µ ≤ M sao cho Z b f (x) dx = µ(b − a). a 1.3 Đa thức và một vài tính chất sơ cấp Luận văn này tập trung vào bài toán tính toán và ước lượng sử dụng đa thức. Như đã đề cập ở [11], dạng chính tắc của một đa thức đại số P (x) bậc n (kí hiệu deg P (x) = n) là P (x) = p0 xn + p1 xn−1 + . . . + pn , p0 ̸= 0. Đa thức dạng chính tắc là đa thức được viết theo thứ tự giảm dần của lũy thừa. Tuy nhiên, để thuận tiện trong nhiều trường hợp, ta cũng thường sử dụng cách viết đa thức P (x) dưới dạng số mũ tăng dần P (x) = b0 + b1 x + b2 X 2 + . . . + bn xn . (1.2) Nhận xét rằng, đa thức (1.2) có tính chất P (k) (0) = k!bk , k = 0, 1, . . . , n và P (k) (0) = 0, k = n + 1, n + 2, . . . Vì thế đa thức (1.2) thường được viết dưới dạng a1 a2 an P (x) = a0 + x + x2 + . . . + xn . (1.3) 1! 2! n! Với cách viết 1.3 ta thu được công thức tính hệ số ak (k = 0, 1, 2, . . . , n) của đa thức P (x), đó chính là giá trị của đạo hàm cấp k của đa thức tại x = 0 ak = P (k) (0) k = 0, 1, 2, . . . , n. Nói cách khác ta có đồng nhất thức P ′ (0) P (2) (0) 2 P (n) (0) n P (x) = P0 + x+ x + ... + x . (1.4) 1! 2! n! 7 1.4 Một số lớp đa thức đặc biệt Các đa thức có vai trò rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực, nhất là giải tích số. Có rất nhiều lớp các hàm đặc biệt là những đa thức được sử dụng vào nhiều mục đích khác nhau (chẳng hạn, xem [16]). Trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng nhiều một vài trong số đó 1. Đa thức Chebyshev loại 1: Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức Tn (x) thỏa mãn : Tn (cos x) = cos nx ∀x ∈ R. Một vài đa thức đầu tiên là : T0 (x) = 1, T1 (x) = x T2 (x) = 2x2 − 1, T3 (x) = 4x3 − 3x, T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x. Đa thức Chebyshev loại 2: Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức Un (x) sao cho : sin(n + 1)x U (cos x) = ∀x ̸= kπ, k ∈ Z. sin x Một số đa thức đầu tiên của U là : U0 (x) = 0, U1 (x) = 1 U2 (x) = 4x2 − 1, U3 (x) = 8x3 − 4x, U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1, U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x. 2. Đa thức Bernoulli bậc m, ký hiệu Bm (x) là đa thức       m   m m m−1 m m−2 m X m Bm (x) = x + B1 x + B2 x +...+ Bm = Bk xm−k , 1 2 m k=0 k 8 m
ở đó k là các hệ số nhị thức, và Bk là số Bernoulli thứ k. Một vài đa thức Bernoulli đầu tiên được liệt kê dưới đây 1 1 B0 (x) = 1, B1 (x) = x − , B2 (x) = x2 − x + 2 6 3 1 1 B3 (x) = x3 − x2 + x, B4 (x) = x4 − 2x3 + x2 − , 2 2 30 5 5 1 B5 (x) = x5 − x4 + x3 − x, 2 3 6 5 1 1 B6 (x) = x6 − 3x5 + x4 − x2 + . 2 2 42 3. Đa thức Euler En (x) được xác định bởi khai triển ∞ 2exz X zn
= E n (x) , z ≤π . ez + 1 n=0 n! Một biểu diễn khác của đa thức này được cho bởi khai triển ∞ 2ez zn   X π = En , z ≤ . e2z + 1 n=0 n! 2 Sau đây là biểu thức tường minh một số đa thức Euler đầu tiên 1 E0 (x) = 1, E1 (x) = x − , E2 (x) = x(x − 1). 2 9 Chương 2 Một số bài toán nội suy cổ điển Nội dung của chương này tập trung vào bài toán nội suy cổ điển đã được giới thiệu chi tiết trong chuyên khảo [11]. Đầu tiên trong Phần 2.1, chúng tôi sơ lược một số vấn đề liên quan đến bài toán nội suy Taylor cùng với ví dụ minh họa ứng dụng của lớp bài toán này. Tiếp theo, trong Phần 2.2 chúng tôi xem xét bài toán nội suy Lagrange và một số vấn đề liên quan. Phần 2.3 dành cho khảo sát bài toán nội suy Newton. Phần cuối cùng của chương chúng tôi trình bày một số vấn đề về việc đánh giá sai số trong phép nội suy đa thức. 2.1 Khai triển Taylor và một số bài toán nội suy Taylor 2.1.1 Bài toán nội suy Taylor Bài toán nội suy Taylor có thể được phát biểu như sau: Cho x0 , ak ∈ R với k = 0, 1, 2, ...., N − 1. Hãy xác định hàm số T (x) có bậc không quá N − 1 (deg T (x) ≤ N − 1) và thỏa mãn các điều kiện T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, 2, ..., N − 1. Đối với bài toán này, trước tiên, ta nhận thấy rằng đa thức N X −1 T (x) = αk (x − x0 )k (2.1) k=0 10 có bậc deg T (x) ≤ N − 1. Bây giờ ta cần xác định các hệ số αk ∈ R sao cho T (x) thỏa điều kiện T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, 2, ..., N − 1. Ứng với mỗi k = 0, 1, 2, ..., N − 1 lấy đạo hàm hai vế (2.1) đến cấp thứ k và sử dụng đẳng thức T (k) (x0 ) = ak ta suy ra ak αk = . k! Thay giá trị của αk vào biểu thức T (x) ta thu được N −1 X ak T (x) = (x − x0 )k . (2.2) k=0 k! Tính duy nhất của đa thức T (x) theo yêu cầu đã được chứng minh trong [11]. 2.1.2 Một số minh họa Công thức Taylor có nhiều ứng dụng trong các bài toán giải tích. Sau đây chúng ta xem xét một vài ví dụ minh họa điển hình. Ví dụ 2.1.1. Xác định đa thức bậc ba f (x) thỏa mãn điều kiện f (n) (1) = n3 − 3n2 + n + 1, n = 0, 1, 2, 3. Lời giải. Ở đây ta áp dụng công thức Taylor với x0 = 1 và ak = f (k) (1). Thật vậy theo đề ta có a0 = f (1) = 1, a1 = f (1) (1) = 0, a2 = f (2) (1) = 1, a3 = f (3) (1) = 4. Theo công thức ở phần trước ta được 1 4 T (x) = 1 + 0.(x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 2 6 2 3 5 2 1 = x − x + 3x − . 3 2 6 2 5 1 Suy ra f (x) = T (x) = x3 − x2 + 3x − . 3 2 6 11 Khi các dữ kiện ak trong bài toán nội suy Taylor trùng với đạo hàm cấp k của một hàm số thì đa thức T (x) còn được gọi là đa thức nội suy Taylor (bậc N − 1) ứng với hàm số đó. π Ví dụ 2.1.2 ([11]). Xét hàm f (x) = sin(x) có f (n) (x) = sin(x + n ), n = 0, 1, 2, . . . 2 Hãy tìm đa thức nội suy của f (x) bậc 3 Lời giải. Theo đề bài ta có a0 = f (0) = 0, a1 = f (1) (0) = 1, a2 = f (2) (0) = 0, a3 = f (3) (0) = −1. Theo công thức nội suy Taylor ta có x3 T (x) = x − . 3! Đây là đa thức nội suy cần tìm. Nhận xét 2.1.3. Trong trường hợp T (x) là đa thức nội suy Taylor bậc n ứng với hàm f nào đó (chẳng hạn f (x) = sin x ở ví dụ trên) tại một điểm x0 đã cho người ta chứng minh được biểu diễn sau đây f (x) = T (x) + Rn+1 (f ; x), trong đó Rn+1 (f ; x) là phần dư của khai triển Taylor. Một số dạng công thức tường minh cho Rn+1 (f ; x) đã được trình bày trong [14]. 2.2 Khai triển Lagrange và bài toán nội suy La- grange Định lý 2.2.1 (Đồng nhất thức Lagrange). Nếu x1 , x2 , ...., xm là m giá trị tùy ý, đôi một khác nhau và T (x) là đa thức có bậc nhỏ thua m thì ta có đồng nhất thức sau (x − x2 )(x − x3 )...(x − xm ) T (x) = T (x1 ) (x1 − x2 )(x1 − x3 )...(x1 − xm ) 12 (x − x1 )(x − x3 )...(x − xm ) + T (x2 ) (x2 − x1 )(x2 − x3 )...(x2 − xm ) + ··· (x − x2 )(x − x3 )...(x − xm ) + T (xm ) (xm − x1 )(xm − x2 )...(xm − xm−1 ) Chứng minh. Tham khảo phép chứng minh đầy đủ trong chuyên khảo [11]. Đồng nhất thức Lagrange cho phép đưa ra lời giải bài toán nội suy Lagrange sau đây: Cho xi , ai ∈ R với xi ̸= xj ∀i ̸= j, (i, j = 1, 2, . . . , N ). Hãy xác định đa thức L(x) có bậc deg L(x) ≤ N − 1 thỏa mãn các điều kiện L(xi ) = ai , ∀i = 1, 2, . . . , N. (2.3) Đa thức L(x) thỏa đề bài được xác định bởi công thức N X L(x) = ai Li (x) i=1 với N Y x − xj Li (x) = , (i = 1, 2, . . . , N ). x i − xj j=1,j̸=i Sau đây chúng ta xem xét một số ví dụ áp dụng. Ví dụ 2.2.2. Cho các đa thức A(x) = x81 + x49 + x25 + x9 + x + 1 và B(x) = x3 − x. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức A(x) cho B(x). Lời giải. Gọi Q(x) và R(x) lần lượt là đa thức thương và đa thức dư của phép chia đa thức A(x) cho B(x). Khi đó, ta có deg R < deg B = 3 và A(x) = B(x).Q(x) + R(x). Từ đây tính được R(−1) = A(−1) = 4, R(0) = A(0) = 1, R(1) = A(1) = 6. 13 Sử dụng công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 ta được (x − 0)(x − 1) (x + 1)(x − 1) R(x) = R(−1). + R(0). (−1 − 0)(−1 − 1) (0 + 1)(0 − 1) (x − 0)(x + 1) + R(1). (1 − 0)(1 + 1) = 5x + 1. Vậy R(x) = 5x + 1. Ví dụ 2.2.3 ([11]). Trong ví dụ này chúng tôi xét bài toán thu gọn biểu thức ak bk ck Sk = + + , (2.4) (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) với một vài giá trị đầu của k = 0, 1, 2, 3. Lời giải. Trường hợp k = 0 thì 1 1 1 S0 = + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) (b − c) − (a − c) + (a − b) = = 0. (a − b)(a − c)(b − c) Trường hợp k = 1 thì a b c S1 = + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) a(b − c) − b(a − c) + c(a − b) = = 0. (a − b)(a − c)(b − c) Trường hợp k = 2 thì a2 b2 c2 S2 = + + . (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) Áp dụng đồng nhất thức Lagrange (x − x2 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x3 ) T (x) = T (x1 ) + T (x2 ) (x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x − x1 )(x − x2 ) + T (x3 ) (x3 − x1 )(x3 − x2 ) 14 với T (x) = x2 và x1 = a, x2 = b, x3 = c (x − b)(x − c) (x − a)(x − c) (x − a)(x − b) x 2 = a2 + b2 + c2 . (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) Đồng nhất hệ số hai vế ta được S2 = 1. Trường hợp k = 3 thì a3 b3 c3 S3 = + + . (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) Lúc này, ta áp dụng [11, Định lý 2.5] với m = 3, x1 = a, x2 = b, x3 = c, n = 2 và nhận được S3 = a + b + c. 2.3 Nội suy Newton Bài toán nội suy được phát biểu Newton như sau ([11]): Cho xi , ai ∈ R, với i = 1, 2, ...., N. Hãy xác định đa thức Q(x) có bậc không quá N − 1 và thỏa mãn các điều kiện Q(i−1) (xi ) = ai , ∀i = 1, 2, ...., N. (2.5) Người ta chứng minh được Q(x) = a1 + a2 R1 (x1 , x) + .... + aN RN −1 (x1 , x2 , ..., xN −1 , x) (2.6) là đa thức duy nhất thỏa mãn điều kiện của bài toán nội suy Newton, trong đó Ri (x1 , x2 , ..., xi , x) xác định bởi hệ Ri (x1 , x2 , ..., xi , x1 ) = 0,   d i R (x1 , x2 , ..., xi , x) = 0, dx x=x2 ...   d i R (x1 , x2 , ..., xi , x) = 1. dx x=xi Ta xét một số trường hợp riêng của bài toán nội suy Newton. 15 1. Nếu N = 1 (ứng với i = 1) thì ta có degN (x) = 0 và N (x1 ) = a1 và do đó N (x) = a1 . 2. Nếu N = 2 (ứng với i = 1, 2), thì theo (2.6) N (x) = a1 + a2 R1 (x1 , x) với R1 (x1 , x) = x − x1 . Từ đó suy ra N (x) = a1 + a2 (x − x1 ). 3. Nếu N = 3 (ứng với i = 1, 2, 3), ta có N (x) = a1 + a2 R1 (x1 , x) + a3 R2 (x1 , x2 , x) do (2.6). Tiếp theo xác định các đa thức Ri . Kết quả tính toán là R1 (x1 , x) = x − x1 , (x − x2 )2 (x1 − x2 )2 R2 (x1 , x2 , x) = − , 2 2 do vậy " # (x − x2 )2 (x1 − x2 )2 N (x) = a1 + a2 (x − x1 ) + a3 − . 2 2 2.3.1 Một số minh họa Ví dụ 2.3.1. Xác định các tam thức bậc hai f (x) thỏa mãn điều kiện f (0) = −1; f ′ (3) = 0; f ′′ (5) = 5. Lời giải. Theo công thức nội suy Newton trong trường hợp n = 2 ta có " # 2 2 (x − 3) (0 − 3) f (x) = f (0) + f ′ (3)(x − 0) + f ′′ (5) + 2 2 " # (x − 3)2 9 = −1 + 5 + 2 2 5 = x2 − 15x − 1. 2 5 Vậy f (x) = x2 − 15x − 1. 2 16 2.4 Đa thức nội suy của một hàm và đánh giá sai số Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm kiếm dạng của một hàm số y = f (x) mà chỉ biết giá trị tại một vài điểm rời rạc xi ∈ [a, b] (i = 0, 1, . . . , n). Cũng có trường hợp biểu thức giải tích f (x) đã cho nhưng quá cồng kềnh, không thích hợp cho việc tính toán tường minh giá trị số. Ý tưởng của phép nội suy ở đây là sử dụng đa thức để xấp xỉ cho hàm số cần tìm. Nội dung của mục này được trình bày dựa theo [1]. Trước tiên, chúng tôi phát biểu lại bài toán nội suy: Cho trước các mốc nội suy a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b, Pm i cùng với các dữ kiện ai = f (xi ), hãy tìm đa thức bậc m có dạng Pm (x) = i=0 ai x sao cho Pm (xi ) = ai , (i = 0, n). Đa thức Pm (x) trong bài toán đó còn gọi là đa thức nội suy của hàm f ứng với các mốc x0 , . . . , xn . Có thể xây dựng Pm bằng một trong các công thức nội suy ở phần trước(đa thức Lagrange, đa thức Newton). Kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của đa thức nội suy đã được xác lập trong tài liệu [1]. Ở đây, chúng ta quan tâm tới bài toán ước lượng sai số giữa hàm cần xấp xỉ với đa thức nội suy tương ứng. Giả sử P (x) là đa thức nội suy bậc n của hàm f (x), tức là P (xi ) = f (xi ) (i = 0, n). Ta cố định giá trị x ∈ [a, b] tùy ý và tìm cách ước lượng sai số R(x) = f (x) − P (x) với x ̸= xi . Ta giả định là hàm cần xấp xỉ f khả vi đến cấp cần thiết. Xét hàm phụ F (z) := R(z) − kω(z), Qn trong đó ω(z) = i=0 (z − xi ). Hằng số k chọn từ điều kiện F (x) = 0, nghĩa là k = f (x)−P ω(x) (x) . Mặc khác F (xi ) = 0 (i = 0, n) do đó F (z) có n + 2 nghiệm phân biệt x, x0 , x1 , . . . , xn . Theo định lý Rolle hàm đạo hàm F ′ có (n + 1) nghiệm. Lặp lại lập luận này nhiều lần, hàm F (n+1) có ít nhất một nghiệm ξ ∈ [a, b], nghĩa là 0 = F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) − k(n + 1)!. 17 So sánh hai biểu diễn của k ở trên ta có f (n+1) (ξ) R(x) = ω(x). (2.7) (n + 1)! Bây giờ nếu đặt M = sup0≤a≤b f (n+1) (x) , từ (2.7) suy ra M f (x) − P (x) ≤ (x − x0 ) . . . (x − xn ) . (2.8) (n + 1)! Nếu bằng một cách nào đó có được thông tin về cận trên M thì từ (2.8) ta được đánh giá cho sai số tuyệt đối của phép xấp xỉ tại điểm cần tìm.  π 2π  Ví dụ 2.4.1. Xét hàm f (x) = sin x trên đoạn ; 6 3 với các mốc nội suy x0 = π2 , x1 = π 3 , x2 = π4 , x3 = π6 . Ta có f (x) = sin x suy ra f (4) (x) = sin x. Khi đó (4) M= sup  f (x) = sup  sin x = 1. π 2π π 2π x∈ ; 6 3 x∈ ; 6 3 Vậy theo lý thuyết ở trên      1 π π π π f (x) − P (x) ≤ x− x− x− x− . 4! 2 3 4 6 Để minh họa ta lấy x = 3π 11 . Khi đó sai số tuyệt đối tương ứng là          3π 3π 1 3π π 3π π 3π π 3π π f −P ≤ − − − − ≈ 1, 3.10−4 . 11 11 4! 11 2 11 3 11 4 11 6