BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 8460102 Người hướng dẫn: PGS. TS. LÊ CÔNG TRÌNH Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS. TS. Lê Công Trình, thầy đã trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn chúng tôi trong suốt thời gian qua. Cảm ơn thầy đã chỉ dẫn tận tình, tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành luận văn này. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giảng dạy chúng tôi, đặc biệt là thầy cô trong Khoa Toán và Thống kê đã dạy dỗ tận tình, truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt hai năm học tập vừa qua. Nhân dịp này, chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các bạn trong tập thể lớp Cao học Toán học khóa 22 đã luôn động viên, giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những sai sót về nội dung cũng như hình thức. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, chỉnh sửa của quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn. Mục lục Lời nói đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số bất đẳng thức cho số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số kiến thức về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Ma trận Hermite và ma trận unita . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Giá trị riêng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Ma trận xác định dương và nửa xác định dương . . . . . . . . . 6 1.2.4 Chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Đa thức ma trận một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Tích ten-xơ của các ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của ma trận và đa thức ma trận 13 2.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của các ma trận vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng của ma trận vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của ma trận vô hướng 17 2.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng của các đa thức ma trận 19 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của các đa thức ma trận . . 26 i ii 3 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị và vết của ma trận và bộ ma trận 29 3.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị của các ma trận vô hướng 29 3.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị và vết của bộ ma trận 40 Tài liệu tham khảo 48 Lời nói đầu Giải tích ma trận là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Bất đẳng thức đối với ma trận (còn gọi là bất đẳng thức ma trận), đặc biệt, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), là các đối tượng nghiên cứu quan trọng trong Giải tích ma trận, với nhiều ứng dụng, chẳng hạn như trong tính toán khoa học, lý thuyết điều khiển, vật lý toán, thống kê, kinh tế, đặc biệt trong lĩnh vực Lý thuyết thông tin lượng tử. Các đa thức ma trận là các đa thức một biến với hệ số là các ma trận vuông, còn được gọi là các λ-ma trận. Các đa thức ma trận có thể xem là các ma trận với hệ tử là các đa thức một biến số. Các vấn đề liên quan đến các đa thức ma trận đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà Toán học có uy tín trên thế giới, và có nhiều ứng dụng quan trọng trong Phương trình đạo hàm riêng, trong Khoa học và Kỹ thuật. Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với ma trận có hệ tử là các số phức (còn gọi là các ma trận vô hướng), cũng như đối với các đa thức ma trận. Ngoài mở đầu, mục lục, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được bố cục thành 3 chương. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về ma trận và đa thức ma trận một biến, cùng với một số kết quả liên quan đến các chương sau của luận văn. Chương 2: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của 1 2 ma trận và đa thức ma trận Trong chương này, phần đầu chúng tôi tổng hợp và trình bày lại một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của các ma trận vô hướng. Trên cơ sở đó chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của các đa thức ma trận. Chương 3: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị và vết của ma trận và bộ ma trận Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày lại một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị của các ma trận vô hướng. Phần tiếp theo, chúng tôi trình bày lại một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị và vết của bộ ma trận. Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những sai sót về nội dung cũng như hình thức. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, chỉnh sửa của quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Bình Định, tháng 8 năm 2021 Học viên Trần Ngọc Thanh Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về ma trận và đa thức ma trận một biến, cùng với một số kết quả liên quan đến các chương sau của luận văn. Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [3], [5], [7], [9], [12]. 1.1 Một số bất đẳng thức cho số thực Cho véc tơ thực x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , ta sắp xếp các thành phần của véc tơ theo thứ tự giảm dần như sau x[1] ≥ x[2] ≥ · · · ≥ x[n] . Định nghĩa 1.1.1. Với x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , nếu k X k X x[i] ≤ y[i] , k = 1, 2, . . . , n i=1 i=1 thì ta nói x là trội yếu bởi y và ký hiệu x ≺w y. Pn Pn Nếu x ≺w y và i=1 xi = i=1 yi thì ta nói x là trội bởi y và ký hiệu x ≺ y. Định nghĩa 1.1.2. Cho x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) là các bộ số không âm. Nếu k Y k Y x[i] ≤ y[i] , k = 1, 2, . . . , n i=1 i=1 thì ta nói x là log-trội yếu bởi y và ký hiệu x ≺wlog y. Qn Qn Nếu x ≺wlog y và i=1 xi = i=1 yi thì ta nói x là log-trội bởi y và ký hiệu x ≺log y. 3 4 Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Hölder (Hardy, Littlewood và Polya (1952, trang 22))). Cho các số thực dương xij và αj sao cho α1 + α2 + · · · + αm = 1 với i = 1, 2, . . . , n và j = 1, 2, . . . , m. Khi đó n m ! m " n #αj X Y Y X xij ≤ (xij )1/αj . i=1 j=1 j=1 i=1 Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Minkowski (xem Marshall và Olkin (1979, trang 459))). Cho x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn là các số thực tùy ý và p là một số thực dương. Khi đó n !1/p n !1/p n !1/p X X X |xk + yk |p ≤ |xk |p + |yk |p . k=1 k=1 k=1 1.2 Một số kiến thức về ma trận Trong toàn bộ luận văn, các ma trận vô hướng được xét là các ma trận vuông cấp n với hạng tử là các số phức. Không gian ma trận phức cấp n được kí hiệu là Cn×n . Cho A = (aij ) ∈ Cn×n , ma trận chuyển vị liên hợp của A là A∗ = (aji ). Nhắc lại tích vô hướng của hai véc tơ x = (xi ), y = (yi ) ∈ Cn được định nghĩa bởi n X hx, yi := xi y i . i=1 Chuẩn Euclide của véc tơ x = (xi ) ∈ Cn được định nghĩa bởi kxk = hx, xi1/2 . Tích Hadamard (tích Schur) của hai ma trận A = (aij ), B = (bij ) ∈ Cn×n , kí hiệu A ◦ B, được định nghĩa như sau A ◦ B = (aij .bij ). 1.2.1 Ma trận Hermite và ma trận unita Định nghĩa 1.2.1. Một ma trận A ∈ Cn×n được gọi là ma trận Hermite nếu A∗ = A. 5 Từ định nghĩa của ma trận Hermite và ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút ra được hai nhận xét sau. Nhận xét 1.2.2. Ma trận A ∈ Cn×n là ma trận Hermite khi và chỉ khi hAx, yi = hx, Ayi với mọi x, y ∈ Cn . Nhận xét 1.2.3. Một ma trận A ∈ Cn×n là ma trận Hermite nếu và chỉ nếu A có các phần tử trên đường chéo chính là các số thực, các phần tử đối xứng qua đường chéo chính là liên hợp của nhau. Định nghĩa 1.2.4. Một ma trận A ∈ Cn×n được gọi là ma trận unita nếu AA∗ = A∗ A = I.     1 −i −1 + i 0 −i 1   Ví dụ 1. A =   ∈ C2×2 và B =  i 1 1+i  ∈ C  3×3 là các 2 1 0  1 + i −1 + i 0 ma trận unita. Nhận xét 1.2.5. Nếu A ∈ Cn×n là ma trận unita thì A khả nghịch và | det A| = 1. 1.2.2 Giá trị riêng của ma trận Định nghĩa 1.2.6. Số phức λ ∈ C được gọi là giá trị riêng của ma trận A ∈ Cn×n nếu tồn tại véc tơ v ∈ Cn , v 6= 0 sao cho Av = λv. Khi đó véc tơ v được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận A. Nhận xét 1.2.7. Nếu v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận A thì αv cũng là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận A. Vì svậy, sau này ta thường p n P xét véc tơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là kvk = hv, vi = vi .v̄i = 1. i=1 Nhận xét 1.2.8. Phương trình Av = λv ⇔ (A − λI)v = 0 có nghiệm không tầm thường v 6= 0. Suy ra det(A − λI) = 0. Như vậy, các giá trị riêng của ma trận A chính 6 là nghiệm của phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0. Mặt khác, vì T ∗ T = I nên T ∗ AT − λI = T ∗ AT − λT ∗ T = T ∗ (A − λI)T , do đó det(T ∗ AT − λI) = det(T ∗ (A − λI)T ) = det T ∗ . det(A − λI). det T = det(A − λI). Đẳng thức này chứng tỏ hai ma trận A và T ∗ AT có cùng giá trị riêng. Nói cách khác, giá trị riêng là bất biến qua phép biến đổi bởi ma trận unita. Cho H là ma trận Hermite có các giá trị riêng là số thực, ta ký hiệu λ (H) ≡ (λ1 (H), . . . , λn (H)) . √ Định nghĩa 1.2.9. Các giá trị σi = µi , trong đó µi là các giá trị riêng của ma trận A∗ A, được gọi là các giá trị kỳ dị của ma trận A. Nhận xét 1.2.10. Nếu A ∈ Cn×n là một ma trận Hermite xác định không âm thì các giá trị kỳ dị của A và các giá trị riêng của A là trùng nhau. Định lý 1.2.11 ([3, Theorem 2.1], Định lý Schur). Cho H ∈ Cn×n là một ma trận Hermite với h1 , h2 , . . . , hn là các hệ số trên đường chéo chính và λ1 , λ2 , . . . , λn là các giá trị riêng. Khi đó (h1 , h2 , . . . , hn ) ≺ (λ1 , λ2 , . . . , λn ). 1.2.3 Ma trận xác định dương và nửa xác định dương Định nghĩa 1.2.12. Cho A ∈ Cn×n . Khi đó (i) Ma trận A được gọi là ma trận nửa xác định dương, ký hiệu A ⩾ 0, nếu hx, Axi ⩾ 0, ∀x ∈ Cn . (ii) Ma trận A được gọi là ma trận xác định dương, ký hiệu A > 0, nếu hx, Axi > 0, ∀x ∈ Cn , x 6= 0. Với A và B là các ma trận cùng cấp, ta viết A ⩾ B nếu A − B ⩾ 0, ta viết A > B nếu A − B > 0. Tính chất 1.2.13. Ma trận nửa xác định dương là ma trận Hermite. 7 Chứng minh. Với mọi ma trận Hermite H ∈ Cn×n , H 6= 0 và x ∈ Cn , x 6= 0 thì x∗ Hx = (Hx)∗ x = x∗ Hx. Từ đó suy ra x∗ Hx là một số thực. 1 Giả sử A là một ma trận nửa xác định dương. Khi đó A = B +iC với B = (A+A∗ ) 2 −i và C = (A − A∗ ). Dễ thấy B, C là các ma trận Hermite. Gọi λ ∈ R là một giá trị 2 riêng tùy ý của ma trận C và v là véc tơ riêng tương ứng. Khi đó v ∗ Av = v ∗ (B + iC)v = v ∗ Bv + iv ∗ Cv. Vì A là ma trận nửa xác định dương nên v ∗ Av là số thực không âm, và vì B là ma trận Hermite nên v ∗ Bv là số thực. Từ đó suy ra v ∗ Cv = 0. Hơn nữa ta có 0 = v ∗ Cv = v ∗ (Cv) = v ∗ (λv) = λ(v ∗ v). Vì v ∗ v > 0 nên λ = 0. Từ đó suy ra C = 0. Vậy A là ma trận Hermite. Tính chất 1.2.14. Ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) có các phần tử trên đường chéo chính là không âm (t.ư dương). Tính chất 1.2.15. Ma trận Hermite là nửa xác định dương (t.ư xác định dương) khi và chỉ khi các giá trị riêng của nó không âm (t.ư dương). Chứng minh. Nếu λ là giá trị riêng ứng với véc tơ riêng x0 của ma trận Hermite nửa xác định dương A ∈ Cn×n thì Ax0 = λx0 . Từ đó suy ra λhx0 , x0 i = hx0 , Ax0 i ⩾ 0. Do hx0 , Ax0 i x0 6= 0 nên hx0 , x0 i > 0. Vậy λ = ⩾ 0. hx0 , x0 i hx0 , Ax0 i Hiển nhiên, nếu ma trận Hermite A là xác định dương thì λ = > 0. hx0 , x0 i Ngược lại, giả sử ma trận Hermite A ∈ Cn×n có các giá trị riêng không âm là λ1 , λ2 , . . . , λn . Khi đó tồn tại ma trận trực giao U sao cho A = U ∗ DU với D = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ). Với mọi véc tơ x ∈ Cn , đặt y = (y1 , y2 , . . . , yn ) = U x, ta có n X ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ x Ax = x (U DU )x = (U x) D(U x) = y Dy = λi |yi |2 ≥ 0. i=1 Vậy A là ma trận nửa xác định dương. Tương tự, ma trận A có các giá trị riêng dương là ma trận xác định dương. 8 Tính chất 1.2.16. Tính Hermite nửa xác định dương (t.ư xác định dương) của các ma trận được bảo toàn qua phép biến đổi unita, nghĩa là, nếu A ∈ Cn×n là ma trận Hermite nửa xác định dương (t.ư xác định dương) và U là ma trận unita thì Ã := U ∗ AU cũng là ma trận Hermite nửa xác định dương (t.ư xác định dương). Chứng minh. Vì A là ma trận Hermite, tức là A∗ = A, nên ta có
∗ à = (U ∗ AU )∗ = (U ∗ (AU ))∗ = (AU )∗ (U ∗ )∗ = U ∗ A∗ U = U ∗ AU = Ã. Vậy à cũng là ma trận Hermite. Hơn nữa, phép biến đổi unita bảo toàn giá trị riêng nên nếu A là ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) thì à cũng là ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương). Nếu G, H là các ma trận Hermite và λ(G) ≺ λ(H) thì ta chỉ cần viết đơn giản là G ≺ H. Tương tự ta viết G ≺w H thay vì λ(G) ≺w λ(H). Tính chất 1.2.17. Cho A ∈ Cn×n là một ma trận Hermite nửa xác định dương. Khi đó A xác định dương khi và chỉ khi A khả nghịch. Chứng minh. (⇒) Giả sử A là ma trận Hermite xác định dương. Khi đó, tồn tại ma trận unita U sao cho A = U ΛU ∗ , trong đó Λ = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ), với λi > 0, i = 1, 2, ..., n. Xét ma trận B = U Λ−1 U ∗ , với Λ−1 = diag(λ−1 −1 −1 1 , λ2 , ..., λn ). Ta có AB = (U ΛU ∗ )(U Λ−1 U ∗ ) = U ΛΛ−1 U ∗ = U IU ∗ = U U ∗ = I. Tương tự, ta có BA = I. Vậy AB = BA = I hay ma trận A là khả nghịch. (⇐) Giả sử A là ma trận Hermite nửa xác định dương và khả nghịch. Vì A khả nghịch nên tồn tại ma trận A−1 sao cho AA−1 = A−1 A = I, hay A−1 giao hoán với A. Do A là Hermite, tức là A = A∗ nên I = (AA−1 )∗ = (A−1 )∗ A∗ = (A−1 )∗ A hay (A−1 )∗ = A−1 . Do đó A−1 cũng là ma trận Hermite. Khi đó, tồn tại ma trận unita U để A và A−1 9 cùng có thể đưa về dạng ma trận đường chéo, tức là U ∗ AU = Λ và U ∗ A−1 U = Ω, trong đó Λ = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ) và Ω = diag(µ1 , µ2 , ..., µn ) với λi ⩾ 0 và µi ⩾ 0 với mọi i = 1, 2, ..., n. Từ đó suy ra I = AA−1 = (U ΛU ∗ )(U ΩU ∗ ) = U ΛΩU ∗ . Đẳng thức này tương đương với U ∗ U = I = ΛΩ = diag(λi µi ). Vậy λi µi = 1 với mọi i = 1, 2, ..., n. Do λi ⩾ 0 và λi µi = 1 nên λi > 0 với mọi i = 1, 2, ..., n. Vậy A là ma trận xác định dương. Hệ quả 1.2.18. Nếu A ∈ Cn×n là ma trận xác định dương thì A−1 cũng là ma trận xác định dương. Chứng minh. Theo chứng minh Tính chất trên, các giá trị riêng µi = λ−1 i của ma trận A−1 là những số dương, do đó ma trận A−1 cũng là ma trận xác định dương. 1.2.4 Chuẩn của ma trận Định nghĩa 1.2.19. Cho E là không gian véc tơ trên C. Một ánh xạ || · || : E → R được gọi là chuẩn véc tơ trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ E; ||x|| = 0 ⇔ x = 0; (2) ||kx|| = |k| · ||x||, ∀x ∈ E, k ∈ C; (3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ E. Định nghĩa 1.2.20. Với mọi ma trận A, B ∈ Cn×n . Hàm số ||| · ||| : Cn×n → R được gọi là một chuẩn ma trận (matrix norm) nếu thỏa mãn: (1) |||A||| ≥ 0 và |||A||| = 0 khi và chỉ khi A = 0; (2) |||cA||| = |c|.|||A|||, với mọi c ∈ C; (3) |||A + B||| ≤ |||A||| + |||B|||; (4) |||A.B||| ≤ |||A|||.|||B|||. Định nghĩa 1.2.21. Với mọi ma trận A ∈ Cn×n và p là một số nguyên dương. Chuẩn 10 ma trận lp của A được định nghĩa như sau: n !1/p X kAkp = |aij |p . i,j=1 Chuẩn l∞ của một ma trận A ∈ Cn×n được định nghĩa như sau: kAk∞ = max |aij |. 1≤i,j≤n Tuy nhiên, l∞ không là chuẩn ma trận. Nhưng nếu ta định nghĩa |||A||| = nkAk∞ thì khi đó ||| · ||| là một chuẩn ma trận. Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra được các điều kiện (1), (2), (3) và với mọi ma trận A, B ∈ Cn×n , ta có n X n X |||AB||| = n max aik bkj ≤ n max |aik bkj | 1≤i,j≤n 1≤i,j≤n k=1 k=1 n X ≤ n max kAk∞ kBk∞ = nkAk∞ nkBk∞ = |||A|||.|||B|||. 1≤i,j≤n k=1 1.3 Đa thức ma trận một biến Nếu A0 , A1 , . . . , Am ∈ Cn×n , Am 6= 0 với 0 là ma trận không và z ∈ C, khi đó m X P (z) = Ai z i = A0 + A1 z + · · · + Am z m , i=0 được gọi là đa thức ma trận bậc m. Nếu Am = I thì P (z) được gọi là đa thức ma trận monic bậc m. Định nghĩa 1.3.1. Một số λ ∈ C được gọi là một giá trị riêng của đa thức ma trận P (z) nếu tồn tại một véc tơ khác không x ∈ Cn thỏa mãn P (λ)x = 0. Khi đó véc tơ x được gọi là một véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng λ. Mỗi giá trị riêng của đa thức ma trận P (z) là nghiệm của đa thức đặc trưng det(P (z)). 11 Cho bộ (m + 1) phần tử A = (A0 , A1 , . . . , Am ) các ma trận A0 , A1 , . . . , Am ∈ Cn×n , đa thức ma trận m X PA (z) = Ai z i = A0 + A1 z + · · · + Am z m i=0 được gọi là đa thức ma trận liên kết với A. Phổ của đa thức ma trận PA (z) được định nghĩa bởi σ(A) := σ(PA (z)) = {λ ∈ C | det(PA (λ)) = 0}, là tập hợp tất cả các giá trị riêng. Cho một đa thức ma trận monic PA (z) = I.z m + Am−1 z m−1 + . . . + A1 z + A0 , với Ai ∈ Cn×n , ma trận cấp (mn × mn)    0 I 0 ··· 0     0  0 I ··· 0    . .. .. ..  CA :=  .  . . . .      0 0 0 ··· I      −Ao −A1 −A2 · · · −Am−1 được gọi là ma trận đồng hành của đa thức ma trận PA (z) hay của bộ (A0 , . . . , Am−1 , I). Chú ý rằng phổ σ(A) của PA (z) trùng với phổ σ(CA ) của CA . Người đọc có thể tìm hiểu rõ hơn về các đa thức ma trận và ứng dụng của chúng trong cuốn sách của I. Gohberg, P. Lancaster và L. Rodman [5]. 1.4 Tích ten-xơ của các ma trận Định nghĩa 1.4.1. Cho A là một ma trận cấp m × n và B là một ma trận cấp p × q. Khi đó tích ten-xơ (tích Kronecker ) của hai ma trận A và B, ký hiệu A ⊗ B, là một 12 ma trận vuông cấp pm × qn được xác định như sau:   a11 B ··· a1n B   A ⊗ B =  ... .. ..  .  . .    am1 B · · · amn B Tính chất 1.4.2. Tích ten-xơ của hai ma trận Hermite (t.ư unita) là một ma trận Hermite (t.ư unita). Định nghĩa 1.4.3. Tích ten-xơ phản đối xứng của các ma trận X1 , X2 , . . . , Xk ∈ Cn×n , kí hiệu X1 ∧ X2 ∧ · · · Xk là một tổ hợp tuyến tính được xác định như sau: 1 X X1 ∧ X2 ∧ · · · Xk := √ (−1)σ(π) Xπ(1) ⊗ Xπ(2) ⊗ · · · ⊗ Xπ(k) , k! π trong đó, tổng ở vế phải được tính trên tất cả các hoán vị π của tập hợp {1, 2, . . . , k} và σ(π) là số các nghịch thế trong π. Định nghĩa 1.4.4. Cho các ma trận A, X1 , X2 , . . . , Xk ∈ Cn×n . Phép biến đổi A∧k được xác định như sau: A∧k (X1 ∧ X2 ∧ · · · Xk ) = AX1 ∧ AX2 ∧ · · · AXk . Chương 2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của ma trận và đa thức ma trận Trong chương này, phần đầu chúng tôi tổng hợp và trình bày lại một số bất đẳng thức dạng Wielandt đối với giá trị riêng của các ma trận vô hướng và một số bất đẳng thức cho liên quan đến chuẩn của ma trận vô hướng. Trên cơ sở đó chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng của các đa thức ma trận và chuẩn của đa thức ma trận. Các kết quả trong chương này chủ yếu dựa vào các tài liệu [6], [7], [8], [10], [11], [12]. 2.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của các ma trận vô hướng 2.1.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng của ma trận vô hướng Định lý 2.1.1 ([7, Theorem 1.45], [8, Wielandt-like inequalities]). Cho A ∈ Cn×n là một ma trận xác định dương, x, y ∈ Cn×1 là các véc tơ thỏa mãn |x| = |y| = 1 và x∗ y = 0. Giả sử các giá trị riêng của A là λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn . Khi đó bất đẳng thức Wielandt khẳng định rằng λn − λ1 p ∗ |x∗ Ay| ≤ (x Ax)(y ∗ Ay). λn + λ1 13 14 Chứng minh. Với số thực α tùy ý, ta có x∗ Ay = x∗ Ay − α.x∗ y = x∗ (A − αI)y  ∗ = A1/2 x I − αA−1 A1/2 y.
Từ đó suy ra p |x∗ Ay| ≤ I − αA−1 (x∗ Ax)(y ∗ Ay). Tiếp theo, ta chứng minh rằng với số thực α thích hợp thì λn − λ1 I − αA−1 = . λn + λ1 2λn λ1 Chọn α = > 0. Vì các giá trị riêng của ma trận A là λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn nên λn + λ1 dễ kiểm tra được rằng ma trận I − αA−1 có các giá trị riêng là α α α 1− ≤1− ≤ ··· ≤ 1 − . λ1 λ2 λn Do đó α λn − λ1 I − αA−1 = 1 − = . λn λn + λ1 Vậy λn − λ1 p ∗ |x∗ Ay| ≤ (x Ax)(y ∗ Ay). λn + λ1 Định lý 2.1.2 ([8, Generalization 1]). Cho A ∈ Cn×n là một ma trận xác định dương, x, y ∈ Cn×1 là các véc tơ thỏa mãn |x| = |y| = 1. Giả sử các giá trị riêng của A là λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn . Khi đó λn − λ1 p ∗ |x∗ Ax − y ∗ Ay| ≤ (x Ax + y ∗ Ay)2 − 4(x∗ Ay)2 . λn + λ1 x+y x−y Chứng minh. Giả sử x và y là các véc tơ đơn vị, khi đó p và p 2(1 + x∗ y) 2(1 − x∗ y) là các véc tơ trực giao. Theo Định lý 2.1.1 ta có (x + y)∗ (x − y) λn − λ1 p Ap ≤ × 2(1 + x∗ y) 2(1 − x∗ y) λn + λ1 15 s s (x + y)∗ (x + y) (x − y)∗ (x − y) p Ap × p Ap . 2(1 + x∗ y) 2(1 + x∗ y) 2(1 − x∗ y) 2(1 − x∗ y) Khai triển bất đẳng thức này ta được điều phải chứng minh. Định lý 2.1.3 ([8, Theorem 1]). Cho A ∈ Cn×n là một ma trận xác định dương, cho x, y ∈ Cn×1 là các véc tơ thỏa |x| = |y| = 1 và x∗ y = 0. Giả sử các giá trị riêng của A được sắp xếp tăng dần là λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn . Khi đó  2 n ∗ λi − λj 2 |x Ay| ≤ max (x∗ Ar x)(y ∗ Ar y). λri + λrj i,j=1 i6=j Định lý 2.1.4 ([8, Proposition 9]). Cho A ∈ Cn×n là một ma trận xác định dương, x, y ∈ Cn×1 là các véc tơ thỏa kxk = kyk và x∗ y = 0. Giả sử các giá trị riêng của A được sắp xếp tăng dần là λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn . Khi đó 1 λn − λ1 ∗ |x∗ Ay| ≤ (x Ax + y ∗ Ay). 2 λn + λ1 Chứng minh. Theo Định lý 2.1.1 ta có λn − λ1 p ∗ |x∗ Ay| ≤ (x Ax)(y ∗ Ay). λn + λ1 Hơn nữa theo Bất đẳng thức AM-GM ta có p 1 ∗ (x∗ Ax)(y ∗ Ay) ≤ (x Ax + y ∗ Ay) . 2 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Định lý 2.1.5 ([8, Corollary 10]). Cho A ∈ Cn×n là một ma trận xác định dương. Giả sử các giá trị riêng của A là λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn . Khi đó λn − λ1 ∗ |x∗ Ax − y ∗ Ay| ≤ (x Ax + y ∗ Ay). λn + λ1 Chứng minh. Theo Định lý 2.1.2 ta có λn − λ1 p ∗ |x∗ Ax − y ∗ Ay| ≤ (x Ax + y ∗ Ay)2 − 4(x∗ Ay)2 . λn + λ1