VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ——————————– VŨ LÂM ĐÔNG ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2016 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ...............***............... VŨ LÂM ĐÔNG ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu và kết quả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác công bố ở bất cứ công trình nghiên cứu nào từ trước tới nay. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này. Nghiên cứu sinh VŨ LÂM ĐÔNG ii LỜI CÁM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cám ơn PGS.TSKH Phạm Đức Chính – người thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận án này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy, Cô đã dạy tôi trong thời gian học chuyên đề trong khuôn khổ chương trình đào tạo Tiến sỹ, các anh chị trong bộ phận đào tạo sau đại học thuộc Viện Cơ học, các bạn đồng nghiệp trong Viện Cơ học, nhóm Seminar khoa học định kỳ đã giúp đỡ hỗ trợ tôi tài liệu, kinh nghiệm để hoàn thiện luận án. Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa học và Công nghệ quốc gia (NAFOSTED). Cuối cùng xin gửi lời cám ơn đến gia đình nhỏ của tôi, những người luôn gần gũi và là động lực sống cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án này. iii Mục lục LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Những công thức và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. TỔNG QUAN 5 1.1. Đồng nhất hóa vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần . . . . . . . 5 1.2. Các xấp xỉ và đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô . . . . . . . . 7 1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI THỂ TÍCH VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN 19 2.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu . 20 2.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu 26 2.3. Lớp vật liệu đẳng hướng ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1. Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2. Mô hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng lấn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hoàn dạng hình vuông và lục giác đều (trong không gian 2 chiều) . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.4. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.5. Mô hình vật liệu tựa đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 iv Chương 3. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI TRƯỢT VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN 47 3.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu . 47 3.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu 63 3.3. Trường hợp đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt diện tích . . . . . 74 3.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . 75 3.4.1. Mô hình vật liệu tựa đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.2. Mô hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng lấn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều . . . 82 3.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Chương 4. PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU TUẦN HOÀN NHIỀU THÀNH PHẦN 85 4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2. Giới thiệu về chương trình CAST3M . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Các công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 v Danh sách hình vẽ 0.1 Tổ chức vi mô của thép hợp kim sau khi khắc màu: cốt liệu than chì dạng cầu (đen), hợp kim FTF (vùng tối) và ôxít sắt từ LTF (vùng sẫm màu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Phần tử đặc trưng (RVE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Vật liệu cốt sợi dọc trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Biên của mô đun đàn hồi diện tích vật liệu tổ hợp dạng mặt cắt ngang hình tròn lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng mặt cắt tròn đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Đánh giá của Voigt, Reuss, các đánh giá của HS và đường biên DXC 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn(KCL 3D) . . . 36 2.6 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn(CL 3D) . . . . . . . . 36 2.7 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu với mặt cắt ngang hình tròn cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn (KCL 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.8 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu với mặt cắt ngang hình tròn cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn (CL 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.9 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần hoàn hình vuông (HV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.10 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều (LGD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 vi 2.11 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.12 Biên của mô đun đàn hồi diện tích vĩ mô vật liệu hình tròn lồng nhau ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.13 Biên Hashin-Shtrikman (HS) và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 3D) . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.14 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1 Biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu đẳng hướng ba thành phần (TDX 3D), so sánh với vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu (DXC 3D) và biên HS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2 Biên mô đun đàn hồi trượt ngang của vật liệu đẳng hướng ba thành phần (TDX 2D), so sánh với biên HS . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 3D) . . . . . . . . . . 80 3.4 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 3D) . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 2D) . . . . . . . . . . 81 3.6 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ dạng chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 2D) . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều (LGD) . . . . . . . . . . . . . 83 4.1 Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Sơ đồ khối chương trình tính toán theo phương pháp PTHH . . . . 88 4.3 Mô hình vật liệu và nhân tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4 Rời rạc hóa lưới với nhân tuần hoàn dạng lục giác trong mặt cắt ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5 Mối quan hệ Kef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6 Mối quan hệ µef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.7 Mối quan hệ ν ef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.8 Mối quan hệ Eef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.9 Mối quan hệ µef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 vii Danh sách bảng Bảng 1.1 Quan hệ giữa hệ số mô đun đàn hồi và các cặp hệ số khác Bảng 2.1 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên trong pha 1 (không gian 3 chiều) (Torquato, 2002) Bảng 2.2 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố ngẫu nhiên (không gian 2 chiều) Bảng 2.3 Thông tin hình học bậc ba ζ2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn sắp xếp tuần hoàn hình vuông và lục giác đều Bảng 2.4 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 3); f1max và f1min tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min Bảng 2.5 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 2); f1max và f1min tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min Bảng 3.1 Biên HS (µUHS , µLSH ), biên µUDXC , µLDXC (với f1 = g1 = 0) và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (µUTDX , µLTDX ) ; f1max và f1min tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min Bảng 3.2 Biên HS (µUHS , µLSH ) và biên vật liệu ba pha tựa đối xứng (µUTDX , µLTDX ) Bảng 3.3 Thông tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên Bảng 3.4 Thông tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố ngẫu nhiên Bảng 3.5 Thông tin hình học bậc ba η2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn sắp xếp tuần hoàn hình lục giác đều viii Công thức và kí hiệu Aβγ βγ α , Bα các thông tin hình học bậc ba của vật liệu Cef f hệ số đàn hồi vĩ mô d số chiều không gian δij toán tử Kronecker ε trường biến dạng E trường biến dạng đồng nhất Γ(r) hàm Green Iα hàm chỉ số hình học pha α k ef f , K ef f mô đun đàn hồi thể tích, diện tích vĩ mô µef f mô đun trượt vĩ mô ν hệ số nở hông φα hàm thế điều hòa ψα hàm thế song điều hòa ⟨.⟩ trung bình thể tích trên miền V σ trường ứng suất vα tỉ lệ thể tích pha α CL chồng lấn cs cộng sự DXC đối xứng cầu KCL không chồng lấn HS Hashin-Shtrikman HV hình vuông LGD lục giác đều PTHH phần tử hữu hạn RVE phần tử đặc trưng TDX tựa đối xứng 1 MỞ ĐẦU Lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đã có những bước phát triển trong nhiều năm qua. Việc xây dựng các mô hình vật liệu đã được thực hiện từ rất sớm và từ những mô hình căn bản. Các tính chất vĩ mô của vật liệu phụ thuộc vào nhiều yếu tố như tính chất của vật liệu thành phần, tỷ lệ thể tích các thành phần, liên kết giữa các thành phần, đặc trưng hình học, . . . qua đó nói lên khó khăn trong nghiên cứu các tính chất vĩ mô của vật liệu. Hiểu và nắm bắt được các vấn đề này đòi hỏi các nhà khoa học phải hiểu biết được sự tương tác qua lại của các vật liệu thành phần, các giả thiết, điều kiện cơ học sát thực với mô hình nhằm có những khám phá, có những kết quả tốt phục vụ cho thực tiễn. Chính vì vậy luận án được thực hiện với mục đích xây dựng những đánh giá và tính toán mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu nhiều thành phần đẳng hướng - một bước phát triển nối tiếp từ các kết quả đã công bố trước đây. Tính thời sự và ý nghĩa của luận án Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (còn gọi là vật liệu Composite) đang được ứng dụng nhiều trong cuộc sống hiện nay từ những ngành công nghiệp đòi hỏi chính xác cao như điện tử, hàng không vũ trụ . . . cho đến lĩnh vực gần gũi với cuộc sống như sản xuất vật liệu xây dựng, đồ gia dụng sinh hoạt hàng ngày. Có thể thấy vật liệu tổ hợp nhiều thành phần sẽ là loại vật liệu chủ đạo trong tương lai vì tính năng làm việc hiệu quả cũng như giá thành chi phí sản xuất chế tạo hợp lý. Những thành phần vi mô khác nhau với những thông số đặc trưng riêng biệt cấu thành nên vật liệu tổng thể, tuy nhiên việc xác định các đại lượng vĩ mô của vật liệu không hề đơn giản bởi chúng ta thường chỉ có những thông tin hạn chế về cấu trúc hình học, tính chất các vật liệu cấu thành . . . Một ví dụ hình ảnh: Fernandino D.O [21] khi nghiên cứu tính chất đàn hồi của vật liệu gang đúc với sự cấu thành của 3 thành phần vật liệu: Hợp kim đông đặc (first to freeze zones-FTF), cốt liệu than chì dạng cầu (spheroidal graphite nodules) và thành phần ôxít sắt từ (last to freeze zones-LTF) đã sử dụng công nghệ chụp cắt lớp quang học quan sát được tổ chức cấu tạo vi mô của các thành phần vật liệu trong mẫu nghiên cứu, qua đó xác định được dạng hình học các thành phần vật liệu tham gia nhằm đưa vào bước tính toán tiếp theo. Hình 0.1 như một 2 ví dụ minh họa, mô đun đàn hồi E của 3 thành phần là: Ethanchi = 15 ± 0.15 GPa; EF T F = 230 ± 8.22 GPa; ELT F = 255 ± 7.77 GPa; Hình 0.1: Tổ chức vi mô của thép hợp kim sau khi khắc màu: cốt liệu than chì dạng cầu (đen), hợp kim FTF (vùng tối) và ôxít sắt từ LTF (vùng sẫm màu) Sau khi thực hiện đồng nhất hóa thông qua các tính toán, Fernandino đã tính được tính chất đàn hồi vật liệu vĩ mô tương đương: E ef f = 171 ± 7 GPa. Trở lại với luận án, hướng nghiên cứu tập trung vào việc xây dựng lời giải hệ số đàn hồi vĩ mô thông qua bài toán năng lượng với phương pháp biến phân nhằm cho ra đánh giá tốt hơn so với các đánh giá đã công bố, kết hợp với tính toán trực tiếp một số mô hình bài toán cụ thể thông qua phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) để có kết quả so sánh. Luận án đã xây dựng được các tính toán đưa về dạng đơn giản để bất cứ một nhà kỹ thuật nào nếu cần thiết kế một loại vật liệu tổ hợp mới có thể tính toán nhanh kết quả mô đun đàn hồi hiệu quả vĩ mô của vật liệu đó, giúp thiết kế vật liệu với các tính chất vĩ mô theo yêu cầu đặt ra. Mục tiêu của luận án Xây dựng các đánh giá (biên trên và biên dưới), mô phỏng tính chất vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng cả các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu vi mô và áp dụng phương pháp PTHH để tính toán cho các mô hình cụ thể so sánh với các đánh giá. 3 Đối tượng của luận án Các mô đun đàn hồi thể tích và mô đun đàn hồi trượt vĩ mô (hiệu quả hay hiệu dụng, trong luận án này tác giả sử dụng cụm từ vĩ mô - macroscopic) của vật liệu nhiều thành phần đẳng hướng. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số. • Phương pháp giải tích - biến phân thông qua các phiếm hàm năng lượng xây dựng biên trên và biên dưới đối với các mô đun đàn hồi vĩ mô. • Phương pháp số sử dụng chương trình MATLAB để thiết lập các công thức, ma trận...tối ưu các tham số hình học của vật liệu trong các đánh giá. Chương trình CAST3M (thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn) áp dụng tính cho một số mô hình vật liệu tuần hoàn nhằm so sánh kết quả với các đánh giá. Những đóng góp của luận án • Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể. • Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể. • Áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán đồng nhất hóa và tính toán số cho một số dạng hình học tuần hoàn nhiều thành phần, có so sánh với các đánh giá. Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí quốc tế (01 bài SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và tuyển tập các báo cáo hội nghị trong nước (03 báo cáo hội nghị). 4 Cấu trúc của luận án Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương, cụ thể: Chương 1: Tổng quan Trình bày về lịch sử, các kết quả nổi bật của các tác giả nghiên cứu trong nước và ngoài nước trước đây trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu liên quan tới vấn đề được nghiên cứu. Cách tiếp cận bài toán đồng nhất hóa vật liệu thông qua đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài toán đàn hồi và đường lối biến phân thông qua các hàm năng lượng. Chương 2: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần Đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực Hashin-Shtrikman được sử dụng trước đây. Đi sâu vào nghiên cứu chi tiết việc thiết lập các phương trình để diễn giải và xây dựng biên trên và biên dưới cho mô đun đàn hồi thể tích k ef f thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Áp dụng để đánh giá cho một số mô hình vật liệu cụ thể. Chương 3: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần Xây dựng trên và biên dưới cho mô đun đàn hồi trượt µef f thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Áp dụng để đánh giá cho một số mô hình vật liệu cụ thể. Chương 4: Phương pháp PTHH áp dụng cho bài toán đồng nhất hóa vật liệu Xây dựng chương trình tính toán PTHH cho một số bài toán đồng nhất hóa cụ thể cho vật liệu tổ hợp có điều kiện biên tuần hoàn, có so sánh với các đánh giá ở hai chương trước. Kết luận chung Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp. 5 Chương 1 TỔNG QUAN 1.1. Đồng nhất hóa vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu tổ hợp (Buryachenko [11]; Hill [30]), phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa. Hình 1.1: Phần tử đặc trưng (RVE) Phần tử đặc trưng V được cấu thành bởi N thành phần chiếm các không gian Vα ⊂ V và có các hệ số đàn hồi kα , µα ; α = 1, . . . , N . Phần tử đặc trưng V (thể tích V được coi là bằng 1) được gắn với hệ tọa độ Descartes {x1 , x2 , x3 }. Khi chịu tác dụng của lực, trường ứng suất σ(x) (là một ten xơ bậc 2) trong vật thể phải thỏa mãn phương trình cân bằng (liên kết lý tưởng dẫn tới cân bằng của lực tại biên ngăn cách giữa các pha, điều kiện liên tục của chuyển vị): ∇ · σ(x) = 0 , x⊂V ; (1.1) Trường ứng suất này quan hệ với trường biến dạng ε(x) thông qua định luật Hook: σ(x) = C(x) : ε(x) , (1.2) 6 trong đó dấu ":" biểu thị tích vô hướng giữa hai ten xơ hạng cao (σij = Cijkl εkl ). Hệ số đàn hồi thành phần (trong trường hợp các vật liệu thành phần là đẳng hướng) C(x) = T(kα , µα ) nếu x ∈ Vα ⊂ V, α = 1, . . . , N ; trong đó T là ten xơ đàn hồi bậc 4 đẳng hướng: 2 Tijkl (kα , µα ) = kα δij δkl + µα (δik δjl + δil δjk − δij δkl ) , (1.3) d δij là toán tử Kronecker, d là số chiều không gian: d = 2 hoặc 3; trường biến dạng ε(x) được biểu diễn qua trường chuyển dịch u(x) : 1[ ] ε(x) = ∇u + (∇u)T ; x∈V . (1.4) 2 Điều kiện biên trên biên ∂V của phần tử đặc trưng V thường được lấy là điều kiện biên động học đồng nhất (homogeneous): ui = ε0ij xj , ε0ij là biến dạng cho trước ; (1.5) hoặc điều kiện biên tĩnh học đồng nhất: 0 0 (1.6) σ ij nj = σij nj , σij là ứng suất cho trước ; với nj là thành phần véc tơ pháp tuyến đơn vị trên biên ∂V . Đối với vật liệu tuần hoàn - điều kiện biên tuần hoàn cần được sử dụng (sẽ đề cập cụ thể trong chương 4). Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng có dạng như sau: ∫ ∫ 1 1 ⟨σ⟩ = σdx , ⟨ε⟩ = εdx . (1.7) V V V V Quan hệ giữa các giá trị trung bình ứng suất và biến dạng trên miền V được biểu diễn qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) Cef f : ⟨σ⟩ = Cef f : ⟨ε⟩ , Cef f = T(k ef f , µef f ) . (1.8) Một khi tìm được các giá trị trung bình này thì sẽ tìm được tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đây được gọi là đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài toán đàn hồi. Ngoài ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô bằng cách tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V (trường khả dĩ ε cần là trường tương thích): 7 ∫ 0 ef f 0 ε :C : ε = inf 0 ε : C : εdx , (1.9) ⟨ε⟩=ε V hoặc thông qua nguyên lý biến phân đối ngẫu (trường khả dĩ σ cần là trường cân bằng): ∫ ef f −1 0 σ : (C ) 0 :σ = inf σ : (C)−1 : σdx . (1.10) ⟨σ ⟩=σ 0 V Điều thú vị là cực trị của (1.9) dẫn đến điều kiện biên lực (tĩnh học) đồng nhất còn cực trị (1.10) lại dẫn đến điều kiên biên động học đồng nhất. Điểm nổi bật của phương pháp là trường khả dĩ lựa chọn chỉ cần thỏa mãn một số phương trình cơ học nhất định, nếu như phiếm hàm đạt cực trị thì các phương trình cơ học còn lại sẽ thỏa mãn hoàn toàn. Đường lối biến phân trên nếu không cho được kết quả chính xác (với một số vật liệu có mô hình hình học pha đơn giản) sẽ cho được biên trên và biên dưới của tính chất vĩ mô, một kết quả khả dĩ khi áp dụng cho những vật liệu cụ thể mà chúng ta không có được đầy đủ mọi thông tin về hình học của vật liệu. Với những cách tiếp cận như trên đã trình bày, các nhà nghiên cứu đã xây dựng những hướng nghiên cứu riêng cho vấn đề đồng nhất hóa vật liệu và sau đây là một số nét chính theo thời gian những công trình nghiên cứu của các nhà khoa học đi trước, có nhiều đóng góp cho lĩnh vực. 1.2. Các xấp xỉ và đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô Từ cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 việc nghiên cứu tính chất các môi trường liên tục của vật liệu nhiều pha đã được các nhà khoa học hàng đầu trên thế giới thời đó thực hiện. Các nghiên cứu này là cơ sở xuất phát để lĩnh vực khoa học vật liệu có những bước tiến dài cho tới nay. Năm 1892, Maxwell [36] và Rayleigh [68] đã nhận được lời giải tiệm cận cho hệ số dẫn của hỗn hợp với pha nền là chủ đạo (vM ≃ 1: tỷ lệ thể tích pha nền) và tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cầu (vI ≪ 1: tỷ lệ thể tích pha cốt liệu). Tiếp theo năm 1905 Einstein [19] đã xây dựng công thức tiệm cận đối với hệ số nhớt hiệu quả của chất lỏng không nén được có chứa tỷ lệ nhỏ các hạt cầu cứng bởi công thức (công thức đúng cho cả mô đun trượt của vật thể đàn hồi không nén được): 8 µ∗ = 1 + 2.5v2 + O(v22 ) , (1.11) µ1 trong đó µ1 là hệ số nhớt của chất lỏng không nén được, µ∗ là hệ số nhớt của chất lỏng không nén được có chứa tỷ lệ nhỏ các hạt cầu cứng, v2 tỷ lệ thể tích của các hạt cầu cứng, O(v22 ) là giá trị nhỏ bậc v22 . Các tác giả Paul [48], Reuss [71] và Voigt [79] đã đưa ra các công thức trung bình cộng số học và trung bình cộng điều hòa để tính xấp xỉ các hệ số dẫn và mô đun đàn hồi của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần: ∑ ∑ k ef f ≃ kV = vα kα , µef f ≃ µV = vα µα , (1.12) α α hoặc: ( )−1 ( )−1 ∑ vα ∑ vα k ef f ≃ kR = , µef f ≃ µR = . (1.13) α kα α µα Tuy nhiên các kết quả này chỉ tương đối tốt khi tương quan tính chất giữa các pha là gần nhau, khi tính chất giữa các pha khác xa nhau thì kết quả nhận được sẽ trở nên rất xa nhau. Sau này với các xây dựng đánh giá theo đường lối biến phân Hill [30] và Paul [48] đã chứng minh rằng (1.12) và (1.13) chính là các đánh giá trên và đánh giá dưới đối với tính chất hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần bất kể hình học pha cụ thể có thế nào đi chăng nữa. Trong trường hợp mô hình vật liệu là hai pha với các hạt cốt liệu có dạng đẹp như hình cầu, bầu dục (ellipsoid) phân bố xa nhau trong pha nền liên tục (tỷ lệ pha cốt liệu là nhỏ), Eshelby [20] đã tách một hạt cốt liệu trong miền vô hạn của pha nền, tính được chính xác trường ứng suất và biến dạng (bỏ qua sự tương tác qua lại giữa các cốt liệu). Trên cơ sở đó ông tìm được hệ số đàn hồi vĩ mô trong một vùng tỷ lệ thể tích vI nhỏ (các hạt cốt liệu xa nhau): k ef f − kM ⟨ε⟩ µef f − µM ⟨ε12 ⟩ = vI 0I , = vI 0 I , (1.14) kI − kM ε µI − µM ε12 với kI , µI , kM , µM là các hệ số đàn hồi của hạt cốt liệu và nền; ε0 , ε012 là các biến dạng tại miền xa vô cùng. Biểu thức tiệm cận của k ef f và µef f có thể được cho như sau: k ef f = kM + vI (kI − kM )K (kI , kM , µI , µM ) + O(vI2 ) , (1.15) µef f = µM + vI (µI − µM )M (kI , kM , µI , µM ) + O(vI2 ) 9 trong đó K, M biểu diễn qua tenxơ Eshelby, O(vI2 ) là vô cùng nhỏ bậc 2, tương tác giữa hai hạt cốt liệu gần nhau được tính đến để chính xác hóa các biểu thức tiệm cận trong các trường hợp cụ thể [3],[12],[15],[23] và [27]. Ở một thái cực khác khi tỷ lệ thể tích của cốt liệu tiến tới sát giá trị giới hạn, trong một số trường hợp cụ thể người ta cũng xây dựng được các biểu thức tiệm cận xấp xỉ các tính chất hiệu quả (xem [24] và [38]). Đối với mô hình vật liệu thực có các thành phần phân bố hỗn độn và tỷ lệ thể tích không nhỏ - hình học pha không hoàn toàn xác định gây khó khăn cho cách giải phương trình trực tiếp, một số phương pháp mô hình được đề xuất mà tiêu biểu là phương pháp sơ đồ vi phân (differentials scheme) trong các nghiên cứu của các tác giả (xem [37],[46],[69-70]) với nội dung tính dần ứng suất và biến dạng với pha nền chứa tỷ lệ nhỏ cốt liệu cầu hay hình bầu dục (dựa theo kết quả Eshelby) và tính mô đun vĩ mô của hỗn hợp. Bước sau lấy hỗn hợp đó làm pha nền và thêm vào tỷ lệ nhỏ pha cốt liệu rồi lại tính mô đun vĩ mô của hỗn hợp thứ hai... và cứ như thế tính cho tới bước thứ N khi ta nhận được tỷ lệ thể tích phải có của pha cốt liệu, công thức mô tả các bước được thể hiện như sau, qua hệ phương trình vi phân: dk 1 ∑N = vIα (kIα − k)Kα (kIα , k, µIα , µ) dt 1 − vI t α=1 , (1.16) dµ 1 ∑N = vIα (µIα − µ)Mα (kIα , k, µIα , µ) dt 1 − vI t α=1 ∑ N với điều kiện ban đầu k(0) = kM , µ(0) = µM , vI = , Kα và Mα xác định từ α=1 (1.15). Lời giải của phương trình sẽ cho k ef f = k(1), µ ef f = µ(1). 1 Trong trường hợp không có pha nền tức là vI = 1 nên −→ ∞ , bởi vậy: 1−t ∑N vIα (kIα − k)Kα (kIα , k, µIα , µ) = 0 α=1 , (1.17) ∑N vIα (µIα − µ)Mα (kIα , k, µIα , µ) = 0 α=1 gọi là phương pháp tự tương hợp (self-consistent) theo các tác giả (xem [9-10],[16], [29],[32],[33] và [82]). Đây cũng có thể được coi là trường hợp riêng của phương pháp sơ đồ vi phân. Nội dung ban đầu của phương pháp này là tính trường biến dạng và ứng suất của 1 pha nào đó thì xem xét đại diện của pha đó như hạt cốt liệu cầu hay bầu dục nằm trong một nền đồng nhất vô hạn với tính chất trùng với tính chất hiệu quả mà ta chưa biết, sử dụng kết quả của Eshelby, từ đó dẫn đến phương 10 trình xác định mô đun đàn hồi vĩ mô. Điểm thuận lợi nhận thấy ở sơ đồ này bao gồm một quan niệm đơn giản và tương ứng với mô hình có trật tự chính xác nhất định (xem Noris [46]). Cách làm này có vẻ gọn tuy nhiên có phần áp đặt, các tính toán cũng như phân tích về sau cho thấy kết quả này (sơ đồ vi phân luôn tuân thủ đánh giá của Hashin-Shtrikman) có khi vô lý mà một trong số tác giả của phương pháp [10] đã chỉ ra chẳng hạn với vật liệu có chứa các lỗ rỗng - hệ số trượt hiệu quả sẽ bằng 0 khi tỷ lệ thể tích của các lỗ rỗng tiến gần tới giá trị 1/2 khi các hạt là cốt liệu tròn (lỗ rỗng là pha thứ 2 có mô đun đàn hồi bằng 0). Một phương pháp khá nổi tiếng là Mori-Tanaka [44] được áp dụng cho kỹ thuật và kim loại học khi xem xét vật liệu nhiều pha dạng nền-cốt liệu. Nội dung của phương pháp là để tính trường ứng suất và biến dạng của các pha, tác giả xem xét riêng một hạt cốt liệu hình bầu dục trong pha nền xa vô cùng với các điều kiện biên ở vô cùng được lấy từ các trung bình của ứng suất và biến dạng trong pha nền (chưa biết) và sử dụng kết quả của Eshelby. Từ những nhược điểm đã nêu ở trên, các phương pháp mô hình đều có những hạn chế không cho trước được sai số có thể, chỉ áp dụng cho một số lớp vật liệu nhất định. Thay cho việc nhận được lời giải giải tích thông qua việc giải phương trình (mà điều này rất khó khăn khi cấu hình hỗn hợp phức tạp) thì có một cách đi khác cũng hướng tới việc tìm được các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đó là đường lối biến phân, đây là phương pháp tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng. Mặc dù không tìm được các trường ứng suất, biến dạng chính xác tương ứng với các điểm cực trị thì với cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ ta cũng nhận được tương ứng các đánh giá đối với giá trị cực trị của các phiếm hàm năng lượng và các tính chất vĩ mô của vật liệu tương đối gần với giá trị thực có thể. Điều khó khăn là ta phải giải bài toán biến phân trên miền V với cấu trúc phức tạp mà chúng ta thường không có đầy đủ thông tin về nó. Theo hướng nghiên cứu này từ rất sớm một số nhà khoa học như Hill [30] lần đầu tiên nghiên cứu về tính chất vĩ mô của đa tinh thể đã chọn trường khả dĩ là bất biến, Paul [48] đã chứng minh được rằng các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đẳng hướng dù cho hình học pha có thế nào thì cũng luôn luôn nằm trong phạm vi